共轭梯度法（Conjugate Gradients）（1）

最近在看ATOM，作者在线训练了一个分类器，用的方法是高斯牛顿法和共轭梯度法。看不懂，于是恶补了一波。学习这些东西并不难，只是难找到学习资料。简单地搜索了一下，许多文章都是一堆公式，这谁看得懂啊。

后来找到一篇《An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain》，解惑了。
为什么中文没有这么良心的资料呢？英文看着费劲，于是翻译过来搬到自己的博客，以便回顾。

由于原文比较长，一共 $66$ 页的PDF，所以这里分成几个部分来写。

目录
共轭梯度法（Conjugate Gradients）（1）
共轭梯度法（Conjugate Gradients）（2）
共轭梯度法（Conjugate Gradients）（3）
共轭梯度法（Conjugate Gradients）（4）
共轭梯度法（Conjugate Gradients）（5）

---

Abstract （摘要）

共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是求解稀疏线性方程组最棒的迭代方法。然鹅，许多教科书上面既没有插图，也没有解说，学生无法得到直观的理解。时至今日（今日指1993年，因为这份教材是1993年发表的），仍然能看到这些教材的受害者们在图书馆的角落里毫无意义地琢磨。只有少数的大佬破译了这些正常人看不懂的教材，有深刻地几何上的理解。然而，共轭梯度法只是一些简单的、优雅的思路的组合，像你一样的读者都可以毫不费力气学会。

本文介绍了二次型（quadratic forms），用于推导最速下降（Steepest Descent），共轭方向（Conjugate Directions）和共轭梯度（Conjugate Gradients）。

解释了特征向量（Eigenvectors），用于检验雅可比方法（Jacobi Method）、最速下降、共轭梯度的收敛性。

还有其它的主题，包括预处理（preconditioning）和非线性共轭梯度法（nonlinear Conjugate Gradient Method）

本文的结构：

1. Introduction（简介）

当我决定准备学共轭梯度法（Conjugate Gradient Method， 简称 CG）的时候，读了 $4$ 种不同的版本，恕我直言，一个都看不懂。很多都是简单地给出公式，证明了一下它的性质。没有任何直观解释，没有告诉你 CG 是怎么来的，怎么发明的。我感到沮丧，于是写下了这篇文章，希望你能从中学到丰富和优雅的算法，而不是被大量的公式困惑。

CG 是一种最常用的迭代方法，用于求解大型线性方程组，对于这种形式的问题非常有效：$$Ax=b\text{\hspace{1em}(1)}$$ 其中：
$x$ 是未知向量，$b$ 是已知向量。
$A$ 是已知的 方形的（square）、对称的（symmetric）、正定的（positive-definite）矩阵。
（如果你忘了什么是“正定”，不用担心，我会先给你回顾一下。）

这样的系统会出现在许多重要场景中，如求解偏微分方程（partial differential equations）的有限差分（finite difference）和有限元（finite element）法、结构分析、电路分析和你的数学作业。

像 CG 这样的迭代方法适合用稀疏（sparse）矩阵。如果 $A$ 是稠密（dense）矩阵，最好的方法可能是对 $A$ 进行因式分解（factor），通过反代入来求解方程。对稠密矩阵 $A$ 做因式分解的耗时和迭代求解的耗时大致相同。一旦对 $A$ 进行因式分解后，就可以通过多个 $b$ 的值快速求解。稠密矩阵和大一点的稀疏矩阵相比，占的内存差不多。稀疏的 $A$ 的三角因子通常比 $A$ 本身有更多的非零元素。由于内存限制，因式分解不太行，时间开销也很大，即使是反求解步骤也可能比迭代解法要慢。另外一方面，绝大多数迭代法用稀疏矩阵都不占内存且速度快。

下面开始，我就当作你已经学过线性代数（linear algebra），对矩阵乘法（matrix multiplication）和线性无关（linear independence）等概念都很熟悉，尽管那些特征值特征向量什么的可能已经不太记得了。我会尽量清楚地讲解 CG 的概念。

2. Notation（标记）

$\bullet$ 除了一些特例，这里一般用大写字母表示矩阵（matrix），小写字母表示向量（vector），希腊字母表示标量（scalar）。

   所以 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，$x$ 和 $b$ 是向量（同时也是 $n\times 1$ 矩阵）。公式(1) 的完整写法：
$$\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \dots & A_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \dots & A_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$

$\bullet$ 两个向量的内积（inner product）写成 $x^{T}y$，可以用标量的和 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$ 来表示。

   注意这里 $x^{T}y=y^{T}x$。 如果 $x$ 和 $y$ 是正交（orthogonal）的，则 $x^{T}y=0$。

$$\begin{gathered} x^{T}y=y^{T}x=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i \\ {x}^{T}y=0（正交） \end{gathered}$$

   一般来说，这些运算会得到 $1\times 1$ 的矩阵。像 $x^{T}y$ 和 $x^{T}Ax$ 这种，运算结果是一个标量值。

$\bullet$ 对于任意非零向量 $x$，如果下面的 公式(2) 成立，则矩阵 $A$ 是正定（positive-definite）的：
$$x^{T}Ax>0\text{\hspace{1em}(2)}$$    这可能对你来说没什么意义，但是不要感到难过。
   因为它不是一种很直观的概念，很难去想像一个正定和非正定的矩阵看起来有什么不同。
   当我们看到它怎么对二次型的造成影响时，你就会对“正定”产生感觉了。

$\bullet$ 最后，还有一些基本的定义：
$$\begin{gathered} (AB{)}^T=B^T{A}^T \\ (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1} \end{gathered}$$

3. The Quadratic Form（二次型）

二次型（quadratic form）简单来说是一个标量。
一个向量的二次型方程具有以下形式：
$$f(x)=\frac{1}{2}{x}^{T}Ax-b^{T}x+c\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $A$ 是一个矩阵，$b$ 是一个向量，$c$ 是一个标量常数。

如果 $A$ 是对称（symmetric） 且正定（positive-definite），则 $f(x)$ 的最小化问题等同于求解 $Ax=b$。

本文的所有例子都基于下面的值来讲解：
$$A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 6\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}2\\ -8\end{array}\right]，c=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

可以把 (4) 代入 (3) 得到：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2& -8\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+0\\ & =\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3x_1+2x_2\\ 2x_1+6x_2\end{array}\right]-(2x_1-8x_2)\\ & =\frac{1}{2}\cdot (x_1\left(3x_1+2x_2\right)+x_2\left(2x_1+6x_2\right))-2x_1+8x_2\\ & =\frac{3}{2}{x}_1^2+3x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1+8x_2\end{array}$$
所以二次型其实是 $n$ 个变量的二次齐次多项式。
再举一个例子，当有 $3$ 个变量时，二次型大概像这样子：$$a{x}_1^2+b{x}_2^2+c{x}_3^2+d{x}_1{x}_2+e{x}_1{x}_3+f{x}_2{x}_3+g$$

方程组 $Ax=b$ 如图(1)所示。
通常来说，方程的解 $x$ 处于 $n$ 维超平面相交的地方，这些相交的位置维度是 $n-1$。
（直线相交于点，平面相交于线，$3$ 维相交于面，$\dots$）。

(图1)

对于 $Ax=b$ 这个问题 ，方程的解 $x=[2,-2{]}^T$，也就是 图(1) 两条直线的交点。

对应的二次型 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^{T}Ax-b^{T}x+c$ ，它的曲线如图(2)所示。

$Ax=b$ 的解是 $f(x)$ 的最小值的点。

(图2)

$f(x)$ 的等高线（contour plot）如图(3)所示。

(图3)

由于 $A$ 是正定的，所以函数 $f(x)$ 的形状是一个抛物碗状。

二次型的梯度（gradient）由以下式子而来：
$$f^{\prime }(x)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}f(x)\\ \frac{\partial }{\partial x_2}f(x)\\ ⋮\\ \frac{\partial }{\partial x_n}f(x)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$

梯度是一个向量场，对于每一个点 $x$，它指向 $f(x)$ 增大得最快的方向。
图(4) 展示了 式子(3) 的梯度，其中具体的参数如 式子(4) 所示。

(图4)

在碗状的底部，梯度为 $0$。因此令 $f^{\prime }(x)=0$ 可以最小化 $f(x)$。

应用 式子(5) 来求导，可以得到： $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{A}^{T}x+\frac{1}{2}Ax-b\text{\hspace{1em}(6)}$$ 如果 $A$ 是对称的，式子会被化简为 $$f^{\prime }(x)=Ax-b\text{\hspace{1em}(7)}$$因为此时 $A^T=A$。

梯度设为 $0$，就能得到 式子(1)，也就是我们要求解的线性方程组。
$Ax=b$ 的解就是 $f(x)$ 的关键点。如果 $A$ 是正定且对称的，则这个解能使 $f(x)$ 最小化。

所以， $Ax=b$ 的解 $x$ 能使 $f(x)$ 最小。
如果 $A$ 不是 正定 的，从 式子(6) 可知用 CG 可以求解方程组 $\frac{1}{2}(A^T+A)x=b$ 。$($ 因为 $\frac{1}{2}(A^T+A)$ 是对称的 $)$

【附录C1】
假设 $A$ 是对称的。
令 $x$ 满足 $Ax=b$，并且能使二次型（式子(3)） 最小；
令 $e$ 为误差项；
则：
$$\begin{array}{rl}f(x+e)& =\frac{1}{2}(x+e{)}^{T}A(x+e)-b^T(x+e)+c\\ & =\frac{1}{2}{x}^{T}Ax+e^{T}Ax+\frac{1}{2}{e}^{T}Ae-b^{T}x-b^{T}e+c\\ & =\frac{1}{2}{x}^{T}Ax+e^{T}b+\frac{1}{2}{e}^{T}Ae-b^{T}x-b^{T}e+c\\ & =\frac{1}{2}{x}^{T}Ax-b^{T}x+c+e^{T}b+\frac{1}{2}{e}^{T}Ae-b^{T}e\\ & =f(x)+\frac{1}{2}{e}^{T}Ae\end{array}$$
如果 $A$ 是正定的，则对于任意 $e\ne 0$ 有 $\frac{1}{2}{e}^{T}Ae>0$，因此 $x$ 能最小化 $f$。

为什么 对称 且 正定 的矩阵有这样的性质？ 可以考虑函数 $f$ 上任意一点 $p$ ，和它的解 $x=A^{-1}b$ 之间的关系。

如果 A 是对称的（无论正定与否），由 式子(3) 和 附录C1，令 $e=p-x$ 可得：$$f(p)=f(x)+\frac{1}{2}(p-x{)}^{T}A(p-x)\text{\hspace{1em}(8)}$$

如果此时 $A$ 又能正定的话，由 式子(2) 得知对于任意 $p\ne x$ 有 $\frac{1}{2}(p-x{)}^{T}A(p-x)>0$，所以一定有 $f(p)>f(x)$，所以 $x$ 是全局最小。

正定（positive-definite） 矩阵到底意味着什么？最直观的感受就是，$f(x)$ 的图形是一个碗状。
如果 $A$ 是 非正定 的，那么有以下几种可能：

(图5)

$\bullet$ 负定（negative-definite）矩阵。相当于对正定取反，如 图(5)b。
$\bullet$ 奇异（singular）矩阵。这种情况下解不是唯一的，如 图(5)c。解集是一条直线或者超平面，在那里 $f$ 具有相同的值。
$\bullet$ 如果矩阵 $A$ 不属于以上情况，那么 $x$ 是一个鞍点（saddle point），最速下降法 和 共轭梯度法 都将失效。

式(3) 中的 $b$ 和 $c$ 决定碗状的极小值在哪里，但不影响抛物面的形状。

为什么要把线性方程组弄得这么麻烦？
因为下面要讲的 最速下降法 和 共轭梯度法 ，需要基于 图(2) 这种最小化问题，才能进行直观的理解。
而不是研究 图(1) 这种超平面的相交的问题。
（即，把问题转成求 极小值，而不是 找交点）

4. The Method of Steepest Descent（最速下降法）

或者叫最陡下降。

我们会从任意点 $x_{(0)}$ 开始，滑到碗状面的底部。我们会走到 $x_{(1)}，x_{(2)}，\dots$，直到足够接近方程的解 $x$。
每走一步的时候，我们要选择 $f$ 下降最快的方向，也就是 $f^{\prime }(x_{(i)})$ 的反方向。
根据 式子(7)，这个方向就是 $-f^{\prime }(x_{(i)})=b-A{x}_{(i)}$。

这里再引入一些定义：

$\bullet$ 误差（error）$e_{(i)}=x_{(i)}-x$。
   表示与 解 有多远。（这个解叫做 精确解（exact solution））

$\bullet$ 残差（residual）$r_{(i)}=b-A{x}_{(i)}$。
   表示与正确值 $b$ 有多远。

容易发现，残差 可以由 误差 变换得来： $\bullet$   $r_i=-A{e}_{(i)}$。

误差反映的是变量的层面，残差描述的是函数值的层面，所以通过 $A$ 从变量空间转换到函数值的空间。

更重要的是： $$r_i=-f^{\prime }(x_{(i)})$$ 你可以认为 残差 $r_i$ 是 最陡下降的方向 （原函数的导数的反方向）。
（这里也很容易理解，因为向量是有方向的，它反映了函数值和真实值之间的距离，同时方向也指向真实值）
   对于非线性问题，我们用的就是这一种定义。
   所以每当你看到残差 $r$，请记住它是最速下降的方向。

假设我们从 $x_{(0)}$ 开始，$x_{(0)}=[-2,-2{]}^T$。

(图6)

第 $1$ 步，我们沿着最陡方向走 $1$ 步，落在 图(6)a 中的实线的某处。
换句话来讲，我们会选择这样一个点：$$x_{(1)}=x_{(0)}+\alpha r_{(0)}\text{\hspace{1em}(9)}$$问题是，这一步要迈多大呢？（可以把 $\alpha$ 看做学习率）

线搜索（line search）是这样一种过程：沿着一条线选择一个 $\alpha$，使得 $f$ 最小化。
图(6)b ：竖直平面和碗状曲面相交于一条横切线，我们要的点在这条线上。
图(6)c ：是这条横切线（从这个视角来看是抛物线）。那么在抛物线的底部，$\alpha$ 的值是多少呢？

由基本推导有，当方向导数（directional derivative） $\frac{d}{d\alpha }f(x_{(1)})=0$ 时，$\alpha$ 能使 $f$ 最小。

根据链式求导法则：$\frac{d}{d\alpha }f(x_{(1)})=f^{\prime }(x_{(1)}{)}^T\frac{d}{d\alpha }{x}_{(1)}=f^{\prime }(x_{(1)}{)}^T{r}_{(0)}$。

（关于求导的方法可以看[这里]或者[这里]）
为什么 $\frac{d}{d\alpha }{x}_{(1)}=r_{(0)}$，因为根据 式子(9) 有 $x_{(1)}=x_{(0)}+\alpha r_{(0)}$，把 $x_{(1)}$ 代进去。

令这条式子为 $0$，我们会发现这个 $\alpha$ 应该使 $r_{(0)}$ 和 $f^{\prime }(x_{(1)})$ 正交。见 图(6)d。

所以，为什么我们期望这些向量正交，这就是最直观的原因 。☝↑☝

(图7)

图(7) 展示了搜索线上不同点的梯度向量。虚线是这些梯度向量在搜索线上的投影。这些虚线的大小等同于 图(6)c 中抛物线上每个点的斜率。这些投影表示当你在这条搜索线上移动时，$f$ 的增长率。当投影为 $0$ 时，$f$ 最小，此时的 梯度 和 搜索线 正交。

为了确定 $\alpha$，由于又有 $f^{\prime }(x_{(1)})=-r_{(1)}$，于是有：
$$\begin{array}{rl}{r}_{(1)}^T{r}_{(0)}& =0\\ (b-A{x}_{(1)}{)}^T{r}_{(0)}& =0\\ (b-A(x_{(0)}+\alpha r_{(0)}){)}^T{r}_{(0)}& =0\\ (b-A{x}_{(0)}{)}^T{r}_{(0)}-\alpha (A{r}_{(0)}{)}^T{r}_{(0)}& =0\\ (b-A{x}_{(0)}{)}^T{r}_{(0)}& =\alpha (A{r}_{(0)}{)}^T{r}_{(0)}\\ r_{(0)}^T{r}_{(0)}& =\alpha r_{(0)}^T(A{r}_{(0)})\\ \alpha & =\frac{r_{(0)}^T{r}_{(0)}}{r_{(0)}^{T}A{r}_{(0)}}\end{array}$$

结合起来，最陡下降法（Steepest Descent）就是：
$$r_{(i)}=b-A{x}_{(i)}，\text{\hspace{1em}(10)}$$ $${\alpha }_{(i)}=\frac{r_{(i)}^T{r}_{(i)}}{r_{(i)}^{T}A{r}_{(i)}}，\text{\hspace{1em}(11)}$$ $$x_{(i+1)}=x_{(i)}+{\alpha }_{(i)}{r}_{(i)}.\text{\hspace{1em}(12)}$$

(图8)

如 图(8) 所示，一直迭代，直到收敛。
由于每一次的梯度都和上一次的正交，所以这个路径呈“之”字型。

上面的算法，要在每轮迭代中做两次矩阵-向量的乘法，不过好在有一个可以被消掉。
在 式子(12) 两边同时左乘 $-A$，再加 $b$，得：
$$r_{(i+1)}=r_{(i)}-{\alpha }_{(i)}A{r}_{(i)}\text{\hspace{1em}(13)}$$
尽管 式子(10) 仍然要算一次 $r_{(0)}$，不过之后每轮迭代都可以用 式子(13) 了。
式子(11) 和 式子(13) 中的乘法 $Ar$ 只需要被计算一次。

这个迭代的缺点是， 公式(13) 生成的序列没有从 $x_{(i)}$ 的值里得到任何回馈。因此对浮点舍入造成的累积误差会使 $x_{(i)}$ 收敛至 $x$ 附近的点，而无法真正地收敛到 $x$。这种影响可以通过周期性地使用 式子(10) 来重新计算正确的残差来避免。

在分析最陡下降的收敛性之前，还要先讲一下特征向量（eigenvectors）的知识，确保你对特征向量有深刻的理解。

5. Thinking with Eigenvectors and Eigenvalues（特征向量和特征值的思考）

上完线性代数课程后，我对特征向量和特征值了如指掌。如果你的老师和我一样，你会记得自己解决了一些关于特征值的问题，但你从来没有真正理解过它们。不幸的是，如果没有对它们的直观理解，CG 也没有意义。如果你已经很有天赋，可以跳过这一节。

特征向量（eigenvectors）主要用来当做分析工具，最陡下降法和共轭梯度法不用计算特征向量的特征值。

5.1 Eigen do it if I try

矩阵 $B$ 的特征向量 $v$ 是一个非零的向量，用 $B$ 乘以它的时候，不会发生旋转（只可能掉头）。
特征向量 $v$ 的长度可能会变，或者反方向，但不会转。

也就是说，存在一些标量常数 $\lambda$ 使得 $Bv=\lambda v$。
$\lambda$ 就是 $B$ 的特征值（eigenvalue）。

为什么要讲这个，因为迭代法通常会用 $B$ 一次又一次地乘上特征向量，而这时只会发生两种情况：

(1) 如果特征值 $|\lambda |<1$，随着 $i$ 的迭代， $B^{i}v={\lambda }^{i}v$ 会消失。（如 图(9)）

(图9)

(2) 如果特征值 $|\lambda |>1$，随着 $i$ 的迭代， $B^{i}v$ 会增大到无穷。（如 图(10)）

(图10)

如果 $B$ 是对称的（然而一般都不是），一般会存在一组 $n$ 个线性无关的特征向量：$v_1,v_2,\dots ,v_n$ 。
这组向量不是唯一的，因为可以用任意的非零常数对它们缩放。

每个特征向量都有对应的特征值：${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$。
对于确定的矩阵，特征值是唯一的。
特征值可能彼此相等，也可能不相等，例如单位矩阵 $I$ 的特征值都是 $1$，所有非零向量都是 $I$ 的特征向量。

如果 $B$ 乘以一个向量，而该向量不是特征向量呢？
在理解线性代数时有一个非常重要的技巧：把该向量拆成 多个向量的和 ，这些多个向量特性是已知的。

考虑一组特征向量 $\{v_i\}$，构成 $n$ 维空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的基（因为对称矩阵 $B$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量）。
在该空间中其它任意的 $n$ 维向量都可以用 $\{v_i\}$ 的线性组合来表示。
由于矩阵-向量的乘法满足 分配律，所以可以分别检查 $B$ 对每个特征向量的影响。

(图11)

在 图(11) 中，向量 $x$ 被表示为特征向量 $v_1$ 和 $v_2$ 的和。
用 $B$ 乘以 $x$，等价于分别乘以 $v_1$ 和 $v_2$ 再加起来。
在迭代过程中有 $B^{i}x=B^i{v}_1+B^i{v}_2={\lambda }_1^i{v}_1+{\lambda }_2^i{v}_2$。

如果特征值都小于 $1$，$B^{i}x$ 会收敛至 $0$，因为迭代地乘 $B$ 后，组成 $x$ 的特征向量都趋于 $0$ 了。
如果其中一个特征值大于 $1$，$x$ 将发散至无穷。

这也是为什么做数值分析的很重视一个矩阵的光谱半径（spectral radius）：$$\rho (B)=\max |{\lambda }_i|,{\lambda }_i\text{ is an eigenvalue of }B$$

如果我们希望 $x$ 快速收敛到 $0$，$\rho (B)$ 应当小于 $1$，越小越好。

值得一提的是，存在一类非对称矩阵，不具备完整的 $n$ 个线性无关特征向量。
这类矩阵被称为缺陷矩阵（defective）。关于它的细节很难在本文讲清楚，不过可以通过广义特征向量（generalized eigenvectors）和 广义特征值（generalized eigenvalues）来分析缺陷矩阵的性质。$B^{i}x$ 趋于 $0$ 的条件是：当且仅当所有广义特征值都于 $1$。但这个证明起来很难。

下面是一个有用的事实：正定矩阵的特征值都是正数。
可以用特征值的定义来证明：$$\begin{array}{rl}Bv& =\lambda v\\ v^{T}Bv& =\lambda v^{T}v\end{array}$$
根据正定矩阵的定义，对于非零向量 $v$，有 $v^{T}Bv$ 是正数，而 $v^{T}v=v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2>0$，所以 $\lambda$ 必须大于为正。

5.2 Jacobi iterations（雅克比迭代）

当然，总是收敛到 $0$ 的过程不会帮助你吸引到朋友。
考虑一个更有用的过程：用雅克比（Jacobi Method）方法求解 $Ax=b$ 。

矩阵 $A$ 被拆成两部分：
(1) $D$，对角线上的元素与 $A$ 的对角线相同，其余部分为 $0$。
(2) $E$，对角线上的元素为 $0$，其余部分与 $A$ 相同。
于是 $A=D+E$。

我们推导出雅克比法：
$$\begin{array}{rl}Ax& =b\\ Dx& =-Ex+b\\ x& =-D^{-1}Ex+D^{-1}b\\ x& =Bx+z\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

其中 $B=-D^{-1}E$， $z=D^{-1}b$

由于 $D$ 是对角矩阵，很容易求逆。

可以通过下面的递归式，把 式子(14) 的恒等式转为迭代法：$$x_{(i+1)}=B{x}_{(i)}+z\text{\hspace{1em}(15)}$$

给定起始向量 $x_{(0)}$，这条公式生成了一序列的向量。我们希望每个连续的向量都比最后一个更接近解 $x$。
$x$ 称为 式子(15) 的驻点（stationary point）。因为，如果 $x_{(i)}=x$，则 $x_{(i+1)}$ 总是等于 $x$。（也就是到达 $x$ 之后，再迭代也不动了）

是的，这个推导可能对你来说过于直接。
除了 式子(14) 以外，我们其实可以为 $x$ 形成任意数量的恒等式。
事实上，简单地把 $A$ 分成不同的东西，即选择不同的 $D$ 和 $E$，我们可以推导出高斯-赛德尔（ Gauss-Seidel method）方法，或者其变种：SOR（ Successive Over-Relaxation）。我们希望的是，所选择的矩阵使 $B$ 具有小的光谱半径。所以为了简单起见，这里直接选择了雅克比切法。

假设我们从任意的 $x_{(0)}$ 出发。对于每次迭代，用 $B$ 乘以这个向量，然后加上 $z$。到底每次迭代在做什么呢？

同样地，我们可以把一个向量看成是多个已知向量的和。
把每次迭代 $x_{(i)}$ 当做是精确解 $x$ 和误差项 $e_{(i)}$ 的和。于是 式子(15) 就变成了：
$$\begin{array}{rl}{x}_{(i+1)}& =B{x}_{(i)}+z\\ & =B(x+e_{(i)})+z\\ & =Bx+z+B{e}_{(i)}\\ & =x+B{e}_{(i)}\text{(by Eauation 14)}\end{array}$$ $$\therefore e_{(i+1)}=B{e}_{(i)}\text{\hspace{1em}(16)}$$

每次迭代都不影响 $x_{(i)}$ 的 “正确部分”（因为 $x$ 是一个驻点）；但每次迭代影响误差项。
显然，由 式子(16) 得知，如果 $\rho (B)<1$，则随着 $i$ 的增大， $e_{(i)}$ 将趋于 $0$。
因此，初始向量 $x_0$ 不会影响必将出现的结果！

当然， $x_{(0)}$ 的选择会影响迭代次数。然而，这种影响远远小于光谱半径 $\rho (B)$ 的影响，是它决定了收敛的速度。
假设 $v_j$ 是 $B$ 的特征向量，对应的特征值是最大的（即 $\rho (B)={\lambda }_j$）。
如果初始误差 $e_{(0)}$ 用特征向量的线性组合来表示，它的成分中包含 $v_j$ 的方向，这部分将会是收敛得最慢的。（因为 $v_j$ 对应的特征值是 ${\lambda }_j$，${\lambda }_j$ 是所有特征值里面最大的，所以 $v_j$ 缩小的最慢，所以这个方向收敛得很慢）

$B$ 通常都不是对称的（就算 $A$ 是对称的），还可能是缺陷矩阵。然而，雅克比方法的收敛速度很大程度上取决于 $\rho (B)$，而 $B$ 又是由 $A$ 决定的。雅克比方法不能对所有的 $A$ 收敛，即使是正定的 $A$。

5.3 A Concrete Example（一个具体例子）

为了证明这些想法，我来求解由 式子(4) 指定的实例。
首先，我们需要求解特征向量和特征值。
根据定义，对于具有特征值 $\lambda$ 的特征向量 $v$，有：$$\begin{gathered} Av=\lambda v=\lambda Iv \\ (\lambda I-A)v=0 \end{gathered}$$
由于特征向量非零，则 $\lambda I-A$ 一定是奇异矩阵，所以：$$\det (\lambda I-A)=0$$

$\lambda I-A$ 的行列式称为特征多项式（characteristic polynomial），是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，其平方项都是特征值。
代入 式子(4) 的值，则 $A$ 的特征多项式为：$$\det \left[\begin{array}{cc}\lambda -3& -2\\ -2& \lambda -6\end{array}\right]={\lambda }^2-9\lambda +14=(\lambda -7)(\lambda -2)$$

因此特征值为 ${\lambda }_1=7$，${\lambda }_2=2$。（有两个特征向量）

第 $1$ 个特征向量：
为了找到到关于 ${\lambda }_1$ 的特征向量：$$\begin{gathered} ({\lambda }_{1}I-A)v=\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=0 \\ \therefore 4v_1-2v_2=0 \end{gathered}$$
$4v_1-2v_2=0$ 的解就是一个特征向量：$v=[1,2{]}^T$。

即 ${\lambda }_1$ 的特征向量为 ${v\text{v}v}_{(1)}=[1,2{]}^T$

第 $2$ 个特征向量：
同样地，可以找到 ${\lambda }_2$ 的特征向量为 ${v\text{v}v}_{(2)}=[-2,1{]}^T$

(图12)

在 图(12) 中，我们可以看到特征向量和椭圆的轴一致，特征值较大的那个特征向量对应更陡的斜坡（slope）。
（负的特征值表示 $f$ 沿着该轴减小，如 图(5)b 和 图(5)d ）

现在再来看实际中的雅克比方法。同样采用 式子(4) 中的数值，我们有：
$$\begin{array}{rl}{x}_{(i+1)}& =-\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ 0& \frac{1}{6}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right]x_{(i)}+\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ 0& \frac{1}{6}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ -8\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}& 0\end{array}\right]x_{(i)}+\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ -\frac{4}{3}\end{array}\right]\end{array}$$

所以矩阵 $B=\left[\begin{array}{cc}0& -\frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}& 0\end{array}\right]$，求解 $B$ 的特征值特征向量：

有对应于特征值 $\frac{-\sqrt{2}}{3}$ 的特征向量 $[\sqrt{2},1{]}^T$，对应于特征值 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 的特征向量 $[-\sqrt{2},1{]}^T$。

这两个特征向量如 图(13)a 所示。
注意，$B$ 的特征向量与 $A$ 的特征向量不重合，与碗状面的轴也无关。

误差项 $e$ 表示为 $B$ 的特征向量的线性组合。而两个特征向量都小于 $1$，并且有一个是负的，所以迭代 $B{e}_{(i)}$ 会使特征向量收敛到 $0$，同时其中一个特征向量的方向不断地反转，如 图(13)的c,d,e 所示。
误差项 $e_{(i)}$ 越来越小，则 $x_{(i)}$ 收敛于 $x$。
图(13)b 展示了雅克比方法的收敛情况。

(图13)