【线性代数】矩阵的初等变换与线性方程组
文章目录
- 矩阵的初等变换
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- 一、初等变换
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- 1. 初等变换的定义
- 2. 行最简形矩阵的定义
- 二、矩阵等价
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- 1. 矩阵等价的定义
- 2. 矩阵等价的性质
- 3. 矩阵等价的定理
- 三、初等矩阵
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- 1. 初等矩阵的定义
- 2. 三种初等矩阵
- 3. 初等矩阵的性质
- 矩阵的秩
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- 一、 k k k阶子式的定义
- 二、矩阵的秩的定义
- 三、矩阵秩的性质
- 线性方程组的解
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- 一、线性方程组的定义
- 二、步骤
矩阵的初等变换
一、初等变换
1. 初等变换的定义
下面三种变换称为矩阵的初等行变换
- 对调两行（对调 i , j i,j i,j两行，记作 r i ↔ r j r_{i}\leftrightarrow r_j ri↔rj
- 以数 ( k ≠ 0 ) (k\ne0) (k=0)乘某一行中的所有元素（第 i i i行乘 k k k，记作 r i × k r_{i}\times k ri×k）
- 把某一行所有元素的 k k k倍加到另一行对应的元素上去（第 j j j行的 k k k倍加到第 i i i行，记作 r i + k r j r_{i}+kr_{j} ri+krj）
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“ r r r“换成” c c c“）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换
2. 行最简形矩阵的定义
非零行的第一个非零元为 1 1 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0 0 0
例如： ( 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} ⎝ ⎛1000010000102300⎠ ⎞
- 非零行的第一个非零元为 1 1 1：第一、二、三行的第一个非零元都是 1 1 1
- 且这些非零元所在的列的其他元素都为 0 0 0：如第二行的第一个非零元，即 1 1 1，其所在的列其他元素都为 0 0 0
二、矩阵等价
1. 矩阵等价的定义
如果矩阵 A A A经过有限次初等行变换变成矩阵 B B B，就称矩阵 A A A与矩阵 B B B行等价，记作 A ∼ r B A\overset{r}{\sim} B A∼rB；如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵 B B B，就称矩阵 A A A与矩阵 B B B列等价，记作 A ∼ c B A\overset{c}{\sim} B A∼cB；如果A经过有限次初等变换变成矩阵 B B B，就称矩阵 A A A与矩阵 B B B等价，记作 A ∼ B A \sim B A∼B。（ A , B A,B A,B是同型矩阵）
2. 矩阵等价的性质
矩阵之间的等价关系具有以下性质
- 反身性： A ∼ A A\sim A A∼A
- 对称性：若 A ∼ B A\sim B A∼B，则 B ∼ A B\sim A B∼A
- 传递性：若 A ∼ B , B ∼ C A\sim B,B\sim C A∼B,B∼C，则 A ∼ C A\sim C A∼C
3. 矩阵等价的定理
设 A A A与 B B B为 m × n m\times n m×n矩阵，那么：
- A ∼ r B A\overset{r}{\sim} B A∼rB的充分必要条件是存在 m m m阶可逆矩阵 P P P，使 P A = B PA=B PA=B
- A ∼ c B A\overset{c}{\sim} B A∼cB的充分必要条件是存在 n n n阶可逆矩阵 Q Q Q，使 A Q = B AQ=B AQ=B
- A ∼ B A\sim B A∼B的充分必要条件是存在 m m m阶可逆矩阵及 n n n阶可逆矩阵 Q Q Q，使 P A Q = B PAQ=B PAQ=B
三、初等矩阵
1. 初等矩阵的定义
由单位阵 E E E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
2. 三种初等矩阵
- 把单位阵中的第 i , j i,j i,j两行（或第 i , j i,j i,j两列）对调，得初等矩阵
- 以数 k ≠ 0 k\ne0 k=0乘单位阵的第 i i i行（或第 i i i列），得初等矩阵
- 以 k k k乘 E E E的第 j j j行加到第 i i i行上或以 k k k乘 E E E的第 i i i列加到第 j j j列上，得初等矩阵
3. 初等矩阵的性质
- 设 A A A是一个 m × n m\times n m×n矩阵，对 A A A施行一次初等行变换，相当于在 A A A的左边乘以相应的 m m m阶初等矩阵；对 A A A施行一次初等列变换，相当于在 A A A的右边乘以相应的 n n n阶初等矩阵
- 方阵 A A A可逆的充分必要条件是，存在有限个初等矩阵 P 1 , P 2 , ⋯ , P l P_{1},P_{2},\cdots,P_{l} P1,P2,⋯,Pl，使 A = P 1 P 2 ⋯ P l A=P_{1}P_{2}\cdots P_{l} A=P1P2⋯Pl
例1：设 A = ( 0 − 2 1 3 0 − 2 − 2 3 0 ) A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -2 & 3 & 0\end{pmatrix} A=⎝ ⎛03−2−2031−20⎠ ⎞，证明 A A A可逆，并求 A − 1 A^{-1} A−1
思路：构建矩阵 ( A ∣ E ) (A|E) (A∣E)，将 A A A的部分通过初等行变换变成 E E E，同时 E E E变成 A − 1 A^{-1} A−1
( A ∣ E ) = ( 0 − 2 1 1 0 0 3 0 − 2 0 1 0 − 2 3 0 0 0 1 ) E 的部分变成上三角矩阵 → ( 3 0 − 2 0 1 0 0 − 2 1 1 0 0 0 0 1 9 4 6 ) 将非主对角线上的数变成 0 ( 3 0 0 18 9 12 0 − 2 0 − 8 − 4 − 6 0 0 1 9 4 6 ) 主对角线上的值变为 1 ( 1 0 0 6 3 4 0 1 0 4 2 3 0 0 1 9 4 6 ) = ( E ∣ A − 1 ) \begin{aligned}(A|E)&=\begin{pmatrix}0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\&E \text{的部分变成上三角矩阵}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&\text{将非主对角线上的数变成}0\\ &\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 \\ 0 & -2 & 0 & -8 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&\text{主对角线上的值变为}1\\&\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6\end{pmatrix}\\&=(E|A^{-1})\end{aligned} (A∣E)=⎝ ⎛03−2−2031−20100010001⎠ ⎞E的部分变成上三角矩阵→⎝ ⎛3000−20−211019104006⎠ ⎞将非主对角线上的数变成0⎝ ⎛3000−2000118−899−4412−66⎠ ⎞主对角线上的值变为1⎝ ⎛100010001649324436⎠ ⎞=(E∣A−1)
故 A − 1 = ( 6 3 4 4 2 3 9 4 6 ) A^{-1}=\begin{pmatrix}6 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 4 & 6\end{pmatrix} A−1=⎝ ⎛649324436⎠ ⎞
矩阵的秩
一、 k k k阶子式的定义
在 m × n m\times n m×n矩阵 A A A中，任取 k k k行与 k k k列（ k ≤ m , k ≤ n k\leq m,k\leq n k≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的 k 2 k^2 k2个元素，不改变它们在 A A A中所处的位置次序而得的 k k k阶行列式，称为矩阵 A A A的 k k k阶子式
二、矩阵的秩的定义
设在矩阵 A A A中有一个不等于 0 0 0的 r r r阶子式 D D D，且所有 r + 1 r+1 r+1阶子式（如果存在的话）全等于 0 0 0，那么 D D D称为矩阵 A A A的最高阶非零子式，数 r r r称为矩阵 A A A的秩，记作 R ( A ) R(A) R(A)（也可写作 r ( A ) r(A) r(A)）。并规定零矩阵的秩等于 0 0 0
三、矩阵秩的性质
- 0 ≤ R ( A m × n ) ≤ min { m , n } 0\leq R(A_{m\times n})\leq\min\{m,n\} 0≤R(Am×n)≤min{m,n}
- R ( A T ) = R ( A ) R(A^{T})=R(A) R(AT)=R(A)
- R ( A B ) ≤ min { R ( A ) , R ( B ) } R(AB)\leq\min\{R(A),R(B)\} R(AB)≤min{R(A),R(B)}
- 若 P , Q P,Q P,Q可逆，则 R ( P A Q ) = R ( A ) R(PAQ)=R(A) R(PAQ)=R(A)
证明：
r ( P A Q ) ≤ r ( A Q ) r(PAQ)\leq r(AQ) r(PAQ)≤r(AQ)
r ( A Q ) = r ( E A Q ) = r ( P − 1 P A Q ) ≤ r ( P A Q ) r(AQ)=r(EAQ)=r(P^{-1}PAQ)\leq r(PAQ) r(AQ)=r(EAQ)=r(P−1PAQ)≤r(PAQ)
∴ r ( P A Q ) = r ( A Q ) \therefore r(PAQ)=r(AQ) ∴r(PAQ)=r(AQ)
r ( A Q ) ≤ r ( A ) r(AQ)\leq r(A) r(AQ)≤r(A)
r ( A ) = r ( A E ) = r ( A Q Q − 1 ) ≤ r ( A Q ) r(A)=r(AE)=r(AQQ^{-1})\leq r(AQ) r(A)=r(AE)=r(AQQ−1)≤r(AQ)
∴ r ( A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) \therefore r(A)=r(AQ)=r(PAQ) ∴r(A)=r(AQ)=r(PAQ) - max { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) \max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)，特别的，当 B = b B=b B=b为非零向量时，有 R ( A ) ≤ R ( A , b ) ≤ R ( A ) + 1 R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1 R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1
- R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(A+B)\leq R(A)+R(B) R(A+B)≤R(A)+R(B)
- 若 A ∼ B A\sim B A∼B，则 R ( A ) = R ( B ) R(A)=R(B) R(A)=R(B)
- 若 A m × n B n × l = O A_{m\times n}B_{n\times l}=O Am×nBn×l=O，则 R ( A ) + R ( B ) ≤ n R(A)+R(B)\leq n R(A)+R(B)≤n
求矩阵的秩，可以用定义求，建议将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的秩为行列式的行值
例1：设 A = ( 1 − 2 2 − 1 2 − 4 8 0 − 2 4 − 2 3 − 1 − 6 0 − 6 ) , b = ( 1 2 3 4 ) A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & -4 & 8 & 0 \\ -2 & 4 & -2 & 3 \\ -1 & -6 & 0 & -6\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} A=⎝ ⎛12−2−1−2−44−628−20−103−6⎠ ⎞,b=⎝ ⎛1234⎠ ⎞，求矩阵 A A A及矩阵 B = ( A , b ) B=(A,b) B=(A,b)的秩
B = [ A ∣ b ] = ( 1 − 2 2 − 1 1 2 − 4 8 0 2 − 2 4 − 2 3 3 − 1 − 6 0 − 6 4 ) → ( 1 − 2 2 − 1 1 0 0 4 2 0 0 0 2 1 5 0 − 8 2 − 7 5 ) → ( 1 − 2 2 − 1 1 0 − 8 2 − 7 5 0 0 2 1 5 0 0 4 2 0 ) → ( 1 − 2 2 − 1 1 0 − 8 2 − 7 5 0 0 2 1 5 0 0 0 0 1 ) \begin{aligned}B=[A|b]&=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & 8 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & -2 & 3 & 3 \\ -1 & -6 & 0 & -6 & 4\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & -2 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -8 & 2 & -7 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{aligned} B=[A∣b]=⎝ ⎛12−2−1−2−44−628−20−103−61234⎠ ⎞→⎝ ⎛1000−200−82422−121−71055⎠ ⎞→⎝ ⎛1000−2−8002224−1−7121550⎠ ⎞→⎝ ⎛1000−2−8002220−1−7101551⎠ ⎞
∴ r ( A ) = 3 , r ( B ) = 4 \therefore r(A)=3,r(B)=4 ∴r(A)=3,r(B)=4
线性方程组的解
一、线性方程组的定义
设有 n n n个未知数 m m m个方程的线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm，可以写成以向量 x x x为未知元的向量方程 A x = b Ax=b Ax=b，则 n n n元线性方程 A x = b Ax=b Ax=b
- 无解的充分必要条件是 R ( A ) < R ( A , b ) R(A)
- 有唯一解得充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) = n R(A)=R(A,b)=n R(A)=R(A,b)=n
- 有无限多解得充分必要条件是 R ( A ) = R ( A , b ) < n R(A)=R(A,b)
R(A)=R(A,b)<n
n n n是未知数的个数，也是系数矩阵 A A A的列数
二、步骤
- 对 [ A ∣ b ] [A|b] [A∣b]进行初等行变换，化为行最简形
- 令自由未知量分别取 1 1 1，其余取 0 0 0，得到非自由未知量的值。得到基础解系 ( n − r ( A ) ) (n-r(A)) (n−r(A))，即齐次方程通解 k 1 ξ 1 + ⋯ + k n − r ξ n − r k_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} k1ξ1+⋯+kn−rξn−r
- 令自由未知量取 0 0 0，得到非自由未知量，即特解 η \eta η，故非齐次方程通解 y + k 1 η 1 + ⋯ + k n − r η n − r y+k_{1}\eta_1+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r} y+k1η1+⋯+kn−rηn−r
首先要先判断有没有解！
齐次方程组没有第三步。做了也是 O O O矩阵
例1：求其次线性方程组 { x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 − 2 x 4 x 1 − x 2 − 4 x 3 − 3 x 4 \begin{cases}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}\\x_{1}-x_{2}-4x_{3}-3x_{4}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+2x3+x4=02x1+x2−2x3−2x4x1−x2−4x3−3x4
A = ( 1 2 2 1 2 1 − 2 − 2 1 − 1 − 4 − 3 ) → ( 1 0 − 2 − 5 3 0 1 2 4 3 0 0 0 0 ) \begin{aligned}A&=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -3\end{pmatrix}\\&\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned} A=⎝ ⎛12121−12−2−41−2−3⎠ ⎞→⎝ ⎛100010−220−35340⎠ ⎞
n − r = 4 − 2 = 2 n-r=4-2=2 n−r=4−2=2
（此处根据令自由未知量分别取 1 1 1，其余取 0 0 0，得到非自由未知量的值。得到基础解系 ( n − r ( A ) ) (n-r(A)) (n−r(A))，即齐次方程通解 k 1 ξ 1 + ⋯ + k n − r ξ n − r k_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} k1ξ1+⋯+kn−rξn−r一步一步演示）
先设 ξ 1 = ( 1 0 ) , ξ 2 = ( 0 1 ) \xi_{1}=\begin{pmatrix}\\\\1 \\ 0\end{pmatrix},\xi_{2}=\begin{pmatrix} \\ \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} ξ1=⎝ ⎛10⎠ ⎞,ξ2=⎝ ⎛01⎠ ⎞
（注意，无论是非齐次还是齐次线性方程组，此处都不需要使用增广矩阵，只使用系数矩阵 A A A）
将 ξ 1 = ( 1 0 ) \xi_{1}=\begin{pmatrix}\\\\1 \\ 0\end{pmatrix} ξ1=⎝ ⎛10⎠ ⎞分别代入矩阵
第一行得 x 1 x_{1} x1的系数为 2 2 2
第二行得 x 2 x_{2} x2的系数为 − 2 -2 −2
则 ξ 1 = ( 2 − 2 1 0 ) \xi_{1}=\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} ξ1=⎝ ⎛2−210⎠ ⎞
同理 ξ 2 = ( − 5 3 − 4 3 0 1 ) \xi_{2}=\begin{pmatrix}- \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} ξ2=⎝ ⎛−35−3401⎠ ⎞
（齐次线性方程组没有最后一步）
故通解为 x = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 = k 1 ( 2 − 2 1 0 ) + k 2 ( 5 3 − 4 3 0 1 ) ( k 1 , k 2 x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=k_{1} \xi_{1}+k_{2}\xi_{2}=k_{1}\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{3} \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\quad(k_1,k_2 x=⎝ ⎛x1x2x3x4⎠ ⎞=k1ξ1+k2ξ2=k1⎝ ⎛2−210⎠ ⎞+k2⎝ ⎛35−3401⎠ ⎞(k1,k2为任意常数 ) ) )
例2：设有线性方程组 { ( 1 + λ ) x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + ( 1 + λ ) x 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 + ( 1 + λ ) x 3 = λ \begin{cases}(1+\lambda)x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+(1+\lambda)x_{2}+x_{3}=3\\x_{1}+x_{2}+(1+\lambda)x_{3}=\lambda\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧(1+λ)x1+x2+x3=0x1+(1+λ)x2+x3=3x1+x2+(1+λ)x3=λ，讨论方程组解的情况，并求无限解时的通解
法1：
( A ∣ b ) = ( 1 1 1 + x λ 0 λ − λ 3 − λ 0 0 − λ ( 3 + λ ) ( 1 − λ ) ( 3 + λ ) ) \begin{aligned}(A|b)&=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1+x & \lambda \\ 0 & \lambda & -\lambda & 3-\lambda \\ 0 & 0 & -\lambda(3+\lambda) & (1-\lambda)(3+\lambda)\end{pmatrix}\end{aligned} (A∣b)=⎝ ⎛1001λ01+x−λ−λ(3+λ)λ3−λ(1−λ)(3+λ)⎠ ⎞
- 当 λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ=0且 λ ≠ − 3 \lambda\ne-3 λ=−3时， r ( A ) = 3 = r ( A ∣ b ) = 3 r(A)=3=r(A|b)=3 r(A)=3=r(A∣b)=3，有唯一解
- 当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时， r ( A ) = 1 ≠ r ( A ∣ b ) = 2 r(A)=1\ne r(A|b)=2 r(A)=1=r(A∣b)=2，无解
- 当 λ = − 3 \lambda=-3 λ=−3时， r ( A ) = r ( A ∣ b ) = 2 < 3 r(A)=r(A|b)=2<3 r(A)=r(A∣b)=2<3，无限多解
当 λ = − 3 \lambda=-3 λ=−3时
( A ∣ b ) = ( 1 0 − 1 − 1 0 1 − 1 − 2 0 0 0 0 ) (A|b)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} (A∣b)=⎝ ⎛100010−1−10−1−20⎠ ⎞
n − r = 3 − 2 = 1 n-r=3-2=1 n−r=3−2=1
∴ ξ = ( 1 1 1 ) , y = ( − 1 − 2 0 ) \therefore \xi=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} ∴ξ=⎝ ⎛111⎠ ⎞,y=⎝ ⎛−1−20⎠ ⎞
∴ \therefore ∴通解为 y + k ξ ( k y+k\xi\quad(k y+kξ(k为任意常数 ) ) )
法2：
观察到系数矩阵 A A A为方阵
有唯一解即 r ( A ) = r ( A ∣ b ) = 3 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 r(A)=r(A|b)=3 \Leftrightarrow|A|\ne0 r(A)=r(A∣b)=3⇔∣A∣=0
有无限多解 r ( A ) = r ( A ∣ b ) < 3 ⇔ ∣ A ∣ = 0 r(A)=r(A|b)<3\Leftrightarrow|A|=0 r(A)=r(A∣b)<3⇔∣A∣=0
∣ A ∣ = ∣ 1 + λ 1 1 1 1 + λ 1 1 1 1 + λ ∣ = ( 3 + λ ) λ 2 = 0 |A|=\begin{vmatrix}1+\lambda&1&1\\1&1+\lambda&1\\1&1&1+\lambda\end{vmatrix}=(3+\lambda)\lambda^2=0 ∣A∣=∣ ∣1+λ1111+λ1111+λ∣ ∣=(3+λ)λ2=0
解得 λ = − 3 \lambda=-3 λ=−3或 λ = 0 \lambda=0 λ=0
（此处只能得到唯一解得解集，其余的需要代入讨论）
- 当 λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ=0且 λ ≠ − 3 \lambda\ne-3 λ=−3时， r ( A ) = 3 = r ( A ∣ b ) = 3 r(A)=3=r(A|b)=3 r(A)=3=r(A∣b)=3，有唯一解
- 当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时
( A ∣ b ) = ( 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 0 ) = ( 1 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 ) (A|b)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} (A∣b)=⎝ ⎛111111111030⎠ ⎞=⎝ ⎛100100100020⎠ ⎞
r ( A ) ≠ r ( A ∣ b ) r(A)\ne r(A|b) r(A)=r(A∣b)无解 - 当 λ = − 3 \lambda=-3 λ=−3时
( A ∣ b ) = ( − 2 1 1 0 1 − 2 1 − 3 1 1 − 2 − 3 ) → ( 1 0 − 1 − 1 0 1 − 1 − 2 0 0 0 0 ) (A|b)=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -2 & -3\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} (A∣b)=⎝ ⎛−2111−2111−20−3−3⎠ ⎞→⎝ ⎛100010−1−10−1−20⎠ ⎞
n − r = 3 − 2 = 1 n-r=3-2=1 n−r=3−2=1
ξ = ( 1 1 1 ) , y = ( − 1 − 2 0 ) \xi=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} ξ=⎝ ⎛111⎠ ⎞,y=⎝ ⎛−1−20⎠ ⎞
∴ \therefore ∴通解为 y + k ξ ( k y+k\xi\quad(k y+kξ(k为任意常数 ) ) )