P4149 [IOI2011]Race (dsu on tree处理路径问题)

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对于dis(u,v)==k这样的路径问题，
我们可以借用LCA将其转化为dis(1,u) + dis(1,v)-2*dis(1,lca) == k
问题就成了 ，满足上述式子的情况下，求出:
dep(u) + d(v) - 2*dep(lca) 的最小值

我们可以枚举LCA来求解。

枚举LCA就联想到可以枚举每颗子树，根节点作为LCA，于是问题转化成了子树查询。

每颗子树的O(N)暴力解法：维护一个map,map[x]表示dis值为x的深度最小的节点深度。 枚举其孩子子树，先查询并更新答案，然后再维护map(枚举LCA时的经典老活了)。
发现最后一棵子树的信息是可以继承给rt的，所以dsu on tree。

这题用到的小trick:

• 路径距离问题通过LCA转化成子树查询问题，再用dsu on tree
• 枚举LCA的子树查询问题往往需要先查询答案，再维护信息
• 枚举LCA的时候要注意LCA这个点是否会影响答案，不能遗漏

#include
using namespace std;
//#pragma GCC optimize(2)
#define ull unsigned long long
#define ll long long
#define pii pair<int, int>
#define pdd pair<double, double>
#define re register
const int maxn = 2e5 + 10;
const ll mod = 998244353;
const ll inf = (ll)4e17+5;
const int INF = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1.0);
//给定带边权的树 求出一条最短的简单路径满足长度为K 
//dis[i]+dis[j]-2dis[LCA]==k  dep[i]+dep[j]-2*dep[LCA] 最小 
//我们枚举LCA 对于每个LCA求出答案取min 
//LCA即树根 所以等价于枚举每颗子树
//维护一个map 表示离根节点dis为i的深度最小值
vector<pii> g[maxn];
int n,k;
int dep[maxn];ll dis[maxn];//到根的深度 距离
unordered_map<ll,int> mp;//与根距离为i 深度最小的节点深度
ll ans=INF;//最终答案
int son[maxn],siz[maxn],pos[maxn],in[maxn],clk;
void dfs1(int rt,int fa) //求出dfs序 重儿子
{
    in[rt]=++clk;
    pos[clk]=rt;
    siz[rt]=1;
    dep[rt]=dep[fa]+1;
    for(pii &i:g[rt]) 
    {
        if(i.first == fa) continue;
        dis[i.first]=dis[rt]+i.second;
        dfs1(i.first,rt);
        siz[rt]+=siz[i.first];
        if(siz[i.first] > siz[son[rt]]) son[rt]=i.first;
    }
}
int LCA;//当前的LCA
inline void adp(int rt) //加入rt这个点 维护mp
{
    ll req=dis[rt];
    if(!mp.count(req)) mp[req]=dep[rt];
    else mp[req]=min(mp[req],dep[rt]);
}
inline void add(int rt)//统计轻儿子贡献
{
    for(int i=in[rt];i<in[rt]+siz[rt];i++)
    {
        int u=pos[i];
        ll req=-dis[u]+2*dis[LCA]+k;//req+dis[u]-2dis[LCA]==K
        if(mp.count(req))
            ans=min(ans,1ll*dep[u]+mp[req]-2*dep[LCA]);
    }
}
inline void upd(int rt)
{
    for(int i=in[rt];i<in[rt]+siz[rt];i++)//整棵子树加进去维护map
    {
        int u=pos[i];
        adp(u);
    }
}
void dfs2(int rt,int fa,bool save) 
{
    for(pii &i:g[rt]) 
    {
        if(i.first == fa || i.first==son[rt]) continue;
        dfs2(i.first,rt,0);
    }
    if(son[rt]) dfs2(son[rt],rt,1);
    LCA=rt;
    //不能漏掉了子树节点与LCA之间的路径
    ll req=dis[LCA]+k;
    if(mp.count(req))
        ans=min(ans,1ll*mp[req]-dep[LCA]);
    adp(rt);

    for(pii i:g[rt]) 
    {
        if(i.first==son[rt] || i.first==fa) continue;
        add(i.first);//先更新ans
        upd(i.first);//再维护map
    }
    if(!save) mp.clear();
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
        u++,v++;
        g[u].push_back({v,w});
        g[v].push_back({u,w});
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,0,1);
    if(ans==INF) ans=-1;
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}