2021数学建模学习笔记

数学建模

摘要

摘要内容：针对所研究的每一个问题，都应该清晰地说明用了什么方法、建立了什么模型、如何求解的、主要结果是什么、解决了什么问题、效果怎么样、具有什么特色和创新点，除了解决基本问题外还做了什么有意义的工作等等。

摘要的书写结构：

第一段：本文建立的模型，使用的方法，方法是用来做什么的。

后续段落：针对3个问题的具体分析（分析什么呢？）

格式：

针对问题一：（记得要加粗）

在什么条件下，可以有什么结果，由此我们可以使用什么方法

针对问题二：（记得要加粗）

针对问题三：（记得要加粗）

第一个模块：问题重述

格式：

1.1 问题一

1.2 问题二

1.3 问题三

用简短的话重新整理一遍问题的条件，然后由这个条件我们需要去考虑什么东西。

第二个模块：问题分析

格式：

1.1 问题一

1.2 问题二

1.3 问题三

第三个模块：模型假设

第四个模块：符号说明

第五个模块： 初步建模与抽象

用数学的语言来表示问题

例如2020B：

​ 1.将地图抽象为图模型

​ 2.对图模型简化

第六个模块：基于向量空间对天气和行动的描述（2020B)

1. 对天气的描述
2. 对行动的描述

前面的5~6模块都是数学化表示，接下来就是决策模型

第七个模块：对于已知天气的决策模型

1. 基于深度优先搜索的仿真模拟

   1. 最优解的求解
   2. 最优解的求解结果

2. 优选路径及策略

3. 物资购买方案决策

4. 损益矩阵的计算与行动决策

5. 不同路径的约束条件

6. 最优策略求解总结

   给出流程图

7. 对关卡一的讨论（给出路线）

8. 对关卡二的讨论（给出路线）

第八个模块：对于位置天气的决策模型

1. 未知天气的概率计算

2. 地点的期望值

3. 挖矿的期望值

4. 物资购买决策

5. 决策总结

   流程图

6. 关于问题的具体讨论

第九个模块：基于多人游戏的博弈模型

第十个模块：模型的分析检验

参考的设置

标题设置：

标题1 黑体四号加粗居中

标题2 黑体小四加粗

标题3 黑体小四不加粗

学习

图表类型：表格，流程图，3D图，数学公式

学习中遇到的建模知识点

1. 深度优先搜索算法
2. 损益矩阵
3. 马尔可夫模型
4. 期望函数
5. 完全信息静态博弈
6. Nash原理
7. 线性规划
8. 对等博弈模型
9. 动态递推博弈模型

常用词

首先，然后，最后

主要因素

首要问题

由于……那么……

使得

目的是

LaTex篇

1. LaTeX的排版

1.1 \documentclass用于指明文档类。

\documentclass[选项]{文档类}

文档 类

article 排版科技期刊、短报告、程序文档、邀请函等。
report 排版多章节的长报告、短篇的书籍、博士论文等。
book 排版书籍。
slides 排版幻灯片。其中使用了较大的 sans serif 字体。也可以考虑使用 FoilTEX 来得到相同的效果。

文档类的选项

纸张大小（a4paper，a5paper，b4paper，letterpaper，legalpaper，executivepaper）：
默认的letterpaper 纸张常见于美国，和国内常用的A4 纸张的大小稍有差别，建议自己指定。

字体大小（10pt，11pt，12pt）：默认为10pt。

纸张方向（portrait，landscape）：默认为portrait（纵向），在屏幕阅读也许landscape（横向）更方便。

草稿定稿（draft，final）：默认为final（定稿）；如果是draft（草稿），页面内容有溢出时会显示粗黑条。

单面双面（oneside，twoside）：对于article 和report 文档类，默认设置为单面，页码总是在右边；对于book 文档类，默认设置为双面，奇数页页码在右边，偶数页页码在左边，这样双面打印时页码总在外侧。

新章开始（openright，openany）：仅对book 文档类有效，默认值为openright，即每章都从奇数页开始；如果设置为openany，则每章仅从新的一页开始，不管奇偶页。

1.2 引言区

\documentclass到\begin{document}称为引言区

1.3 \usepackage命令用来载入LaTeX宏包，用于对LaTeX基本功能做拓展

使用中文包\usepackage{ctex}

1.4 标题、作者和日期

\title{标题内容}
\author{作者}
\date{\today}

maketitle将title、author、date全部显示出来，如果没有这一句，上面的设置全部不起作用

例子：

\documentclass[11pt, a4paper]{article}
\usepackage[space]{ctex}
\title{LaTeX快速入门}
\author{qingdujun}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
你好！LaTeX。
\end{document}

1.5 LaTeX的注释

%

1.6 段落换行

\par：开始新的段落同时保存首行缩进
\\或\newline：强制换行且在下一行没有缩进

2. Markdown中的Latex公式

2.1 方框符号

$$\boxed{E=mc^2}$$

会给公式外围加个框框
$$\boxed{E=m{c}^2}$$

2.2 希腊字母

现查吧

2.3 上下标和根号！！！

^：表示上标

_：表示下标

\sqrt[开放次数，默认为2]{开方公式}：表示根号
$$\sqrt[3]{x^2}$$

复杂根式排版命令：
$$\begin{gathered} x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt[n]{1+\sqrt[m]{1+x^p}}}} \\ {x}_{\pm }=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{gathered}$$

2.4 分数

\frac{分子}{分母}
$$\frac{1}{2}$$
\dfrac{分子}{分母}
$$\frac{1}{2}$$

复杂分式的排版：
$$\begin{gathered} 分式的排版命令： \\ x=\frac{y+z/2}{y^2+\frac{y}{x+1}} \\ {a}_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5}}}}} \end{gathered}$$

2.5 运算符

\pm:加减
$$\pm$$
\times：标准乘号
$$\times$$
\div：标准除号
$$÷$$
\cdot：点
$$\cdot$$
\cap：∩
$$\cap$$
\cup：∪
$$\cup$$
\geq：大于等于
$$\ge$$
\leq：小于等于
$$\le$$
\neq：不等于
$$\ne$$
\approx：约等于
$$\approx$$
\equiv：恒等于
$$\equiv$$

求和，求积，极限，积分

\sum：求和
$$\sum _{i=0}^{n}i$$
\prod：求积
$$\prod _{i=1}^n$$
\lim：极限
$$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2$$
x\to0：
$$x\to 0$$
\int：积分
$${\int }_a^b{x}^{2}dx$$
这些公式在行内公式中被压缩，可以通过\limits和\nolimits决定是否被压缩。

多重积分使用如下形式\int, \iint, \iiint, \idotsint，例如
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \idotsint at position 34: …ad \iiint\quad \̲i̲d̲o̲t̲s̲i̲n̲t̲\;

\leftarrow：左箭头
$$x\leftarrow y$$
\rightarrow：右箭头
$$x\to y$$
\leftrightarrow：双向箭头
$$x\leftrightarrow y$$
\Leftarrow：必要性
$$x\Leftarrow y$$
\Rightarrow：充分性
$$x\Rightarrow y$$
\Leftrightarrow：充分必要性
$$x\iff y$$
\longleftarrow：长左箭头
$$x⟵y$$
\longrightarrow：长右箭头
$$x⟶y$$
\longleftrightarrow：长双向箭头
$$x⟷y$$
\Longleftarrow：长必要性
$$x⟸y$$
\Longrightarrow：长充分性
$$x⟹y$$
\Longleftrightarrow：长充分必要性
$$x⟺y$$
\xleftarrow和\xrightarrow：根据内容自动调整
$$\stackrel{x+y+z}{}\underset{x<y}{\overset{x+y}{}}$$

4. 取模命令：\gcd, \bmod, \pmod(带括号)

$$\begin{gathered} \gcd (m,n)=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b \\ x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a+b) \end{gathered}$$

2.6 注音和标注

\bar{x}：均值
$$\bar{x}$$
\acute{x}：
$$\acute{x}$$
\mathring{x}：空圈
$$\mathring{x}$$
\vec{x}：矢量
$$x$$
\grave{x}：下滑
$$\grave{x}$$
\dot{x}：点
$$\dot{x}$$
\hat{x}：帽子
$$\hat{x}$$
\tilde{x}：波浪线
$$\tilde{x}$$
\ddot{x}：两点
$$\ddot{x}$$
\check{x}：反向帽子
$$\check{x}$$
\breve{x}：弧线
$$\breve{x}$$
$ \dddot{x}：三点
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 2: $̲ \dddot{x}

2.7 分隔符

（）:
$$()$$
[]:
$$[]$$
\{\}:
$$\{\}$$
\langle \rangle：<>
$$⟨⟩$$

2.8 省略号

\dots \cdots \vdots \ddots

\dots和\cdots的纵向位置不同，前者一般用于有下表的序列
$$x_1,x_2,\dots ,x_{n}1,2,\cdots ,n⋮\ddots$$

2.9 空白间距

, 3/18em : 4/18em ; 5/18em \quad 1em \qquad 2m （\）! -3/18em
$$1111111$$

LaTeX是忽略空格的，有以下三种方式添加空格：

{}、\、\usepackage[space]{ctex}

• 你{ }好啊！
• 你\ 好啊！
• \usepackage[space]{ctex}

2.10 矩阵

&用于分割列，\用于分割行

不带框的矩阵

\begin{array}{ccc}
\end{array}

有几列后一个括号就有几个符号，c代表居中，l代表左对齐，r代表右对齐，~~虽然我感觉看起来没什么区别。。~~在对于数字来说就有区别了
$$\begin{gathered} \begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& \dots \\ x_3& x_2& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array} \\ \begin{array}{lcr}123& 1234& 123\\ 45& 45& 67\\ 1& 5& 8\end{array} \end{gathered}$$
带括号的矩阵：pmatrix
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$
带方括号的矩阵：bmatrix
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$
带花括号的矩阵：Bmatrix
$$\left\{\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right\}$$
行列式：vmatrix
$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$
矩阵的秩：Vmatrix
$$\Vert \begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\Vert$$

2.11 多行公式！！！

无需对齐可使用multline，需要对齐使用split，用\和$来分行和设置对齐的位置。

{multline}：
KaTeX parse error: No such environment: multline at position 8: \begin{̲m̲u̲l̲t̲l̲i̲n̲e̲}̲ x=a+b+c+{}\\ d…

{split}：
KaTeX parse error: No such environment: split at position 8: \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ x ={}&a+b+c+{}…

2.12 公式组

不需要对齐的公式组用gather，需要对齐使用align：
KaTeX parse error: No such environment: gather at position 8: \begin{̲g̲a̲t̲h̲e̲r̲}̲ a=b+c+d\\ x=y+…

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ a &= b+c+d\\ x…

2.13 分支公式

分段函数通常用cases次环境携程分支公式
$$y=\{\begin{array}{l}-x,x\le 0\\ x,x>0\end{array}$$

2.13 公式编号

\tag{公式编号}
$$f(x)=a-b\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

3. 基础标识

3.1 设置字体居中，颜色及粗题，斜体

\color

\textbf

\emph

3.2 环境列表

三种环境列表：无序列表（itemize）、有序列表（enumerate）和描述列表（description）

1. \begin{itemize}
   \item…
   \item…
   \item…
   \end{itemize}
2. \begin{enumerate}
   \item…
   \item…
   \item…
   \end{enumerate}
3. \begin{description}
   \item[]…
   \item[]…
   \item[]…
   \end{description}

\documentclass[UTF8]{ctexart}

\begin{document}

\begin{itemize}
  \item javascript
  \item html
  \item css
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item javascript
  \item html
  \item css
\end{enumerate}

\begin{description}
  \item[javascript] javascript
  \item[html] html
  \item[css] css
\end{description}

\end{document}

3.3 标题摘要

\begin{abstract}
\end{abstract}

3.4 章节目录

在book和report文档类中，章节命令有：

• \part,
• \chapter,
• \section,
• \subsection,
• \subsubsection,
• \paragraph,
• \subparagraph

*在article文档类中，\chapter不可以使用，其余都可以使用。

目录：tableofcontents命令可以自动根据各章节的标题生成目录

载入宏包hyperref可以让生成的文章目录有超链接，也会使生成的pdf文件有目录书签。

\documentclass[UTF8]{ctexart}

\usepackage[hidelinks]{hyperref}

\begin{document}

\tableofcontents

\part{部分标题}
%\chapter{章标题}这一章我们介绍这些内容。
\section{节标题}这一节我们介绍这些内容。
\subsection{小节标题}这一小节我们介绍这些内容。
\subsubsection{子节标题}这一子节我们介绍这些内容。
\paragraph{段标题}这一段我们介绍这些内容。
\subparagraph{小段标题}这一小段我们介绍这些内容。

\end{document}

他们的顺序是：part>section>subsection>subsubsection>paragraph>subparapraph，其中paragraph不会在目录显示

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-J1tSqlSs-1632557902233)(C:\Users\64865\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210902110640754.png)]

要调整章节标题在目录页中的格式，可以用titletoc 宏包。该宏包的基本命令参数如下：

\titlecontents{标题层次}[左间距]{整体格式}{标题序号}{标题内容}{指引线和页码}[下间距]

3.5 参考文献

引用参考文献的基本环境：

\begin{thebibliography}{}
\bibitem[显示符号]{引用标签} Book Title, Author
\end{thebibliography}

\begin{thebibliography}{}的大括号内填入的数字表示最大标号值。其中[显示符号]表示在参考文献区域显示的标号，可不填，默认使用数字1,2,3进行编号。引用标签则是在正文中引用的标签。参考文献的引用和其他的引用有点不同，需要用\cite{引用标签}来引用。

\bibitem表示一条文献记录。

TIPS：

默认thebibliography会自动添加标题Reference，所以无需重复添加
▪默认参考文献的行间距为一行，这有时候显得太大了。可以在\begin{thebibliography}{}后添加\addtolength{\itemsep}{-1.5ex}来缩小行间距。-1.5ex表示每行缩小1.5ex。其实细心观察可以发现，thebibliography其实是一个枚举环境，因此对于itemize和enumerate，可以用同样的方法缩小行间距。

▪thebibliography是十分繁琐的。因为你还需要把作者等信息一个个地填上去。有没有什么更好的方法呢？答案是：有的。那就是bibtex！bibtex是一个引用数据库，一般以bib后缀结尾。各大论文网站都会提供bibtex格式的文献引用。这里不做详解，可以到网上搜所一下。

3.6 插入表格

1. tabular环境插入表格

\begin{tabular}{||||}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
   &  &  \\
   &  &  \\
   &  &  \\
  \hline
\end{tabular}

▪首先，tabular 环境的参数|l|c|r| 指明了各列的对齐方式，l、c 和r 分别表示左对齐、居中对齐和右对齐。中间的竖线| 指明各列之间有竖线分隔，如果在某些地方不需要竖线，去掉相应位置的| 即可。
▪表格各行的元素之间用& 号分隔，两行内容用\ 分隔。\hline 表示两行之间的横线；你可以用连续两个\hline 得到双横线，或者去掉\hline 以不显示该横线。
▪如果需要在某个单元格中填写多行内容，不能直接用\ 或\newline 命令，而应该将它们放在一个盒子里面（比如\parbox 盒子）。

2. 跨列表格（应该用不到）

   \multicolumn

3.7 插入图片

载入graphicx宏包：\suepackage{graphicx}

\includegraphics命令：

1. 图文混排

命令：\includegraphics[选项]{图形文件}

▪\includegraphics 命令有许多选项，上面例子中使用的选项scale=0.03 指明了整体的伸缩因子，常用的选项还有宽度值和高度值选项，例如width=64mm 和height=48mm 等等。如果宽度值和高度值只指明一项，将按同比例对另一项作伸缩。
▪默认情况下，图片是和正文的基线对齐的，当图片高度比行距大时，结果不是很美观。可以用\raisebox命令稍微降低图片的位置。

2. 图文分开
   将插入的图片放在center环境中来实现，如下面的代码：

   \documentclass[UTF8]{ctexart}\usepackage{graphicx}\begin{document}和Microsoft Office Word 等所见即所得的办公软件不同，用\begin{center}\includegraphics{picture/tupian.jpg}\end{center}排版文档，首先要用文本编辑器编辑好tex文档，然后通过各种程序编译，得到pdf 文档用于打印或者阅读。\end{document}
   

   插入的图片最好设置宽和高，例如

   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{picture/tupian.jpg}
   

   3. 浮动图片
      所谓的浮动图片就是会自动调整图片的位置。用figure来实现。

      \documentclass[UTF8]{ctexart}\usepackage{graphicx}\begin{document}和Microsoft Office Word 等所见即所得的办公软件不同，用\begin{figure}[h]  \centering  % Requires \usepackage{graphicx}  \includegraphics{picture/tupian.jpg}\\  \caption{latex}\end{figure}排版文档，首先要用文本编辑器编辑好tex文档，然后通过各种程序编译，得到pdf文档用于打印或者阅读。\end{document}
      

3.8 插入代码

1. 使用\lstset，在大括号内，依次设置程序语言，关键字颜色，注释颜色，tab空格数，边框，边框阴影，escape符号(用于跳过解析)。

   在正文部分，则可以使用\begin{lstlisting}和\end{lstlisting}来插入代码。

   %下面的是配置是可以写中文注释的python环境:\usepackage{listings}\usepackage{color}\definecolor{dkgreen}{rgb}{0,0.6,0}\definecolor{gray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}\definecolor{mauve}{rgb}{0.58,0,0.82}\lstset{frame=tb,  language=Python,  aboveskip=3mm,  belowskip=3mm,  showstringspaces=false,  columns=flexible,  basicstyle={\small\ttfamily},  numbers=left,%设置行号位置none不显示行号  %numberstyle=\tiny\courier, %设置行号大小    numberstyle=\tiny\color{gray},  keywordstyle=\color{blue},  commentstyle=\color{dkgreen},  stringstyle=\color{mauve},  breaklines=true,  breakatwhitespace=true,  escapeinside=``,%逃逸字符(1左面的键)，用于显示中文例如在代码中`中文...`  tabsize=4,  extendedchars=false %解决代码跨页时，章节标题，页眉等汉字不显示的问题  }
   

2. minted包插入代码片(存在问题)
   \usepackage{minted}导入minted包

   \begin{minted}[linenos, numbersep=5pt, frame=lines, framesep=2mm, autogobble]{Python}                            import matplotlib.pyplot as plt            import numpy as np            import math            ...\end{minted}      
   

3.9 绘制有向图/无向图

1. 宏包：\usepackage{tikz}

除了载入宏包还需要载入库，常用的两个库：\usetikzlibrary{positioning, arrows.meta}

tikz环境：

\begin{tikzpicture}...\end{tikzpicture}

2. 基础命令：
   绘制node：\node[选项](变量名)at(x,y){显示文字}

   at (x,y)`给出node的坐标，这个参数可以省略，通过其他方式来指定位置或者采用系统的默认规则确定位置。可以通过`(变量名)`在tikz环境中对该node对象进行索引。`[选项]`可以对node的大小、形状、颜色、位置等信息进行设置，不同的选项之间用逗号隔开。`[circle]`表示node的形状为圆形，`[fill=yellow!50]`表示node的填充色（背景色）为黄色，透明度为50%，二者的组合`[circle,fill=yellow!50]
   

元素	关键词	示例	效果
点	\coordinate	\coordinate[label=$A$] (A) at(1,-1);	创建点A，位于（1，-1）处，标签为A
		\coordinate[label=$B$] (B) at(45:2);	创建点B，位于以源点为圆心，2为半径，逆时针选择45°处
线	–	\draw[dashed] (A) – (B)	用虚线(dashed)连接元素A与元素B
圆	circle	\draw(1,2) circle(1cm)	以（1,2）为圆心，1cm为半径画圆
面	\fill	\fill[gray!50] (A) – (B) – ©	以50%透明度灰色填充三角形△ABC

1. 一个小例子

\documentclass[11pt, a4paper]{article}\usepackage[space]{ctex}\usepackage{amsmath}\usepackage{tikz}	%画图的包\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning}\usepackage{pgflibraryarrows}\usepackage{pgflibrarysnakes}\begin{document}\begin{tikzpicture}\node[state] (0){a};\node[state] (1)[right=of 0]{b};\node[state] (2)[below right=of 1]{c};\node[state] (3)[above right=of 1]{d};\path[->] (0) edge [loop below] node {$w_a$} (0)		(0) edge node [above] {$w_b$} (1)		(1) edge node [above] {$w_c$} (2)		(1) edge node [above] {$w_d$} (3);\end{tikzpicture}\end{document}

学习中遇到的错误

没有注意宏包的导入

在使用矩阵的途中，我经常习惯性copy其他的人代码直接到vscode里使用，然后经常报错而又找不到错误的地方，最后在查看别人的模板中，我注意到他使用了许多的宏包，包括abstract，ctex等等，于是我猜想是不是相关的数学宏包没有导入，经过尝试，我将目标锁定在了array宏包，在添加"\usepackage{array}"后，wrong消失。

table的位置

在使用teble中，经常会出现表格位置不在我们想要的位置，这种情况通常是因为表格处于上下页交界处，而表格塞不到上一页中，就只能导致占到下一页，而我们的本来在表格下的文字又出现在了表格之上，这时候可以尝试在\begin{table}的上方添加一行\newpage，这样子表格的排序就正常了。

尤其是针对多个表格相邻放置时，只要一个表格出现了变动没有出现在想要的位置，后续的表格都会不在我们希望它出现的位置。

此次设计的模板

\documentclass[11pt, a4paper]
{article}\usepackage{ctex}\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
 \usepackage{graphicx}
 \usepackage{booktabs} %绘制表格
 \usepackage{caption2} %标题居中
 \usepackage{geometry}
 \usepackage{array}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{subfigure} \usepackage{longtable}\usepackage{abstract}\usepackage{listings}\usepackage{color}\usepackage{fancyhdr} %页眉宏包\definecolor{dkgreen}{rgb}{0,0.6,0}\definecolor{gray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}\definecolor{mauve}{rgb}{0.58,0,0.82}\pagestyle{plain} %页眉消失\geometry{a4paper,left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm}\lstset{	frame=tb,	language=Python,	aboveskip=3mm,	belowskip=3mm,	showstringspaces=false,	columns=flexible,	basicstyle={\small\ttfamily},	numbers=left,%设置行号位置none不显示行号	%numberstyle=\tiny\courier, %设置行号大小  	numberstyle=\tiny\color{gray},	keywordstyle=\color{blue},	commentstyle=\color{dkgreen},	stringstyle=\color{mauve},	breaklines=true,	breakatwhitespace=true,	escapeinside=``,%逃逸字符(1左面的键)，用于显示中文例如在代码中`中文...`	tabsize=4,	extendedchars=false %解决代码跨页时，章节标题，页眉等汉字不显示的问题  	}\begin{document}%\setcounter{page}{1} %将这一行代码放在\begin{document}的最前面\title{\textbf{论文标题}}\author{}\date{}\maketitle\renewcommand{\abstractname}{\Large 摘要\\}\begin{abstract}	\normalsize	摘要内容	\par	\textbf{关键字}：\end{abstract}\thispagestyle{empty}	%封面不显示页码\newpage%\clearpage%\pagestyle{fancy}%\rhead{Page \thepage\ of 20}%将这一行放在\tableofcontents 前面,这样做从目录页就有页眉显示%\tableofcontents %目录%\newpage\tableofcontents	%生成目录\thispagestyle{empty}	%目录页不显示页码\newpage\setcounter{page}{1}	%从下面开始编页码\section{问题背景与重述}问题背景与重述\subsection{问题一}\subsection{问题二}\subsection{问题三}\section{模型假设}模型假设\par1、LATEX（英语发音：/ˈleɪtɛk/ LAY-tek或英语发音：/ˈlɑːtɛk/LAH-tek，音译“拉泰赫”），是一种基于TEX的排版系统，由美国电脑学家莱斯利•兰伯特在20世纪80年代初期开发，利用这种格式，即使用户没有排版和程序设计的知识也可以充分发挥由TEX所提供的强大功能。对于生成复杂表格和数学公式，这一点表现得尤为突出。\begin{figure}[ht]	\centering	\includegraphics[scale=0.4]{chatu.jpg}	\caption{this is a figure demo}	\label{fig:pathdemo}\end{figure}		因此它非常适用于生成高印刷质量的科技和数学类文档。这个系统同样适用于生成从简单的邮件到完整书籍的所有其他种类的文档。\section{符号说明}\begin{longtable}{p{8cm}<{\centering}p{7.5cm}}	\toprule  %添加表格头部粗线	符号       & 意义 \\	\midrule  %添加表格中横线	Steve Jobs & 001  \\	Bill Gates & 002  \\	\bottomrule %添加表格底部粗线\end{longtable}\section{问题分析}问题分析\subsection{问题一分析}问题一\subsection{问题二分析}问题二\subsection{问题三分析}问题三\section{模型建立与求解}\subsection{问题一模型的建立}\subsection{问题一模型的求解}\section{模型评价与改进}模型评价与改进\section{参考文献}参考文献\newpage\section{附录}\begin{lstlisting}[language={[ANSI]C},keywordstyle=\color{blue!70},commentstyle=\color{red!50!green!50!blue!50},frame=shadowbox, rulesepcolor=\color{red!20!green!20!blue!20}] 	#`导入矩阵计算包`	import numpy as np\end{lstlisting}	\end{document}