Programming Languages PartA Week3学习笔记——SML基本语法第二部分

Building Compound Types

Each of：例如三维空间的x、y、z坐标，一个人的first和last name

One of：例如今天的天气（sunny、partly cloudy、rainy …），打印机的状态（正在打印、等待打印…）

SML中的building-blocks例子

Records

一种包含有field的"Each of" type ，类似于Python的字典，同样的，SML的Records是一种无序字典，例如：

val x = {bar=(1+2,true andalso true), foo=3+4, baz=(false,9)}
(* 获取其中的值使用#field的方式，例如，如果访问的field不存在，会造成type error (statically) *)
#bar x 

Tuples as Syntactic Sugar

简单来说就是使用Record生成Tuple，当Record的field是从数字时，可以以任意顺序生成tuple（field数量必须与元素数量相等），即tuple其实是特殊的record，称为语法糖说明这让各种语法更统一（或更简洁），例如：

Datatype Bindings

自定义数据类型，使用datatype关键词定义数据类型，并使用构造函数获取该类型值，例如下图的多个构造函数（类似C++构造函数的重载，可以使用不同类型的参数）。其中Pizza并不是函数，因为没有任何参数，它本身就是一个datatype的值。另外管道符“|”用来分割不同的构造函数。

注意：由于SML的函数可以作为值传递，构造函数也可以作为值传递。函数作为值传递是函数式编程的一大特点，例如下面的例子：

fun swap(s:int*int) =
    (#2 s, #1 s)

val funAsValue = swap
val test_tuple = (1,2)
val swap1 = swap(test_tuple)
val sawp2 = funAsValue(test_tuple)

fun f_swap(s:int*int, f:(int*int)->(int*int)) =
    f(s)
	
val swap3 = f_swap(test_tuple, swap)

上述代码的结果可以看到，函数本身就是一个值，可以作为其他变量的值，可以作为其他函数的参数传入。

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对于数据类型绑定的构造函数，有下面的例子：

值得注意的是比如a的value是Str “hi”，这是一整个值（是mytype类型的值），Str用来标记（tag）整个mytype类型的数据值来自哪个构造函数，类似Str "hi"的值被称为标记组合（tag union）。d的value是TwoInts (3,7)也是同样的道理。

Case Expressions

Case的用法和其他语言差不多，即用一种数据类型的多个不同值映射到（另一个数据类型的）其他不同值，注意case小写。

Case在匹配的时候对Pattern进行匹配，Patten是不能计算值的一种形式，例如TwoInts(i1,i2)，i1和i2只是表示TwoInts之后需要跟两个值，但在这里不是具体的表达式或者值（类似函数定义时的形式参数）。每个Pattern中用的变量名不可以相同。

上图中的第0条是指：Pattern match 可以用来作为测试或者data-extraction函数（比如Pizza输出True，其他的输出False），但这是不推荐的，因为这样丧失了Pattern match的优势（用其他方法就能做到所以就不需要用Case的Pattern match）。

第1条是指：如果使用mytype作为参数，Case应该包含mytype的各种情况（各种构造函数的情况），不然编译器会给出warning例如：

fun g x = case x of Pizza => 3

第2条是指：Case不能重复，否则由于重复的case永远不会被执行，会给出type-checking error

第3条是指：不会忘记测试变量是否有值，因为Pattern本身就是有值的形式，如果被匹配到了说明已经能够取到正常的值了，不会出现hd []这种情况（因为不会匹配这种Pattern）

Useful Datatypes

从应用上来说，datatype是可对应不同类型不同值的一个类型（有点类似java的枚举类型或者C的结构体struct但又不太相似），所以把它看做是SML特有的一种新的概念可能会更好。

datatype实际上是一种one-of 类型，当我们需要one-of 来表达一些信息的时候，就不应该用each-of数据类型来表示，例如在id这个抽象事物中，由于student_num 和 后面的Name之间是并列的“或”关系（one-of），如果用Record来表示就会显得混乱。

但另一方面，当我们要描绘的事物不是id而是某个“人”，这个“人”同时具备student_num和Name时，就是一种each-of关系了，此时使用Records就类似于其他语言通过结构体或者类（或者字典）来记录这个人的信息。

除了one-of和each-of，还有self-reference的关系，在datatype中可以使用自引用（在datatype的定义中使用这个datatype，但跟递归一样需要有一个最终的落脚点（例如下图的Constant of int）），下图：

使用这样的自引用结构的datatype的function也一定是递归的：

示例：

Pattern Matching的总结

datatype的type checking 和 valuation

对于case：

案例：

(* 示例代码 *)
datatype exp = Constant of int
			 | Negate of exp
			 | Add of exp*exp
			 | Multiply of exp*exp
(* bad style *)
fun max_constant e = 
    Case e of Constant i => i
            | Negate e2 => max_constant e2
            | Add (e1,e2) => if max_constant e1 > max_constant e2
            				 then max_constant e1
            				 else max_constant e2
            | Multiply (e1,e2) => if max_constant e1 > max_constant e2
            				 then max_constant e1
            				 else max_constant e2
(* good style : 可重用代码写在嵌套函数中，重复计算的递归值存到let中变量中 *)
fun max_constant e = 
	let fun max_of_two(e1,e2) = 
			let val m1 = max_constant e1
		    	val m2 = max_constant e2
		 	in if m1>m2 then m1 else m2 end
	in
        Case e of Constant i => i
                | Negate e2 => max_constant e2
                | Add (e1,e2) => max_of_two(e1,e2)
                | Multiply (e1,e2) => max_of_two(e1,e2)
    end
(* 另外，使用已有的标准函数库，能让程序更简化。例如Int.max，并且递归值作为该函数的参数时不会像if then else 那样多次计算（已经保存在局部变量中），所以可以不需要再定义局部变量m1和m2 *)
fun max_constant e = 
	let fun max_of_two(e1,e2) = 
			Int.max(max_constant e1,max_constant e2)
	in
        Case e of Constant i => i
                | Negate e2 => max_constant e2
                | Add (e1,e2) => max_of_two(e1,e2)
                | Multiply (e1,e2) => max_of_two(e1,e2)
    end

Type Synonyms

type关键词用于为已有类型设置一个别名，相当于C语言的typedef

例如：

(* suit and rank are datatype*)
type card = suit * rank
(* type也能用于record的别名 *)
type name_record = {student_num : int,
					first : string,
					middle : string option,
					last : string}

List and Options are Datatypes

List 可用datatype递归定义，下面是一个例子，但不推荐这样使用。

option中的NONE 和 SOME是构造器，option本身是个datatype。用Case代替isSOME和valOf是一种更好的方式。

list的[]和:: 符号也是构造器，能够通过Case的x::xs’模式来提取hd xs（即下图的x）

Polymophic Datatypes

多态类型，由于list和option都必须是某种类型的list或option（不指定类型就是’a 'b 'c这样的不指定的类型，具有多态特性），所以list和option本身不是types

同时函数的参数不指定具体的类型，则默认是’a，任意类型，由编译器来判断调用时的真实类型。

(* 内部节点上没有数据，并且叶节点有两种不同类型的二叉树 *)
datatype ('a,'b) flower =
         Node of ('a,'b) flower * ('a,'b) flower
         | Leaf of 'a
         | Petal of 'b

Each of Pattern Matching / Truth About Functions

关于函数的真相：每个变量和函数的绑定都使用Patter-matching，每个函数实质上都有且只有一个参数。

One-of types（例如datatype）使用pattern match，同时，each-of types （tuple、records）也使用pattern match，如下图，简单来说我们使用(x1,…,xn)的形式去匹配某个表达式例如（1,2,3,5+1）并valuate，认为这就是一个tuple，从而取值；使用{f1=x1,…,fn=xn}的形式去匹配某个表达式例如{name=jack,num=1+1}并valuate，认为这就是一个record，从而取值。patter match一般是用在access values时。

Val-binding 可以通过patterns来匹配，举个例子假如e是一个tuple表达式，p可以是(x1,…,xn)这样的模式，就将e的值赋值到对应的x1…xn变量中（有点类似于python的元组解包）。

另外假如constructor pattern用在val-binding中，由于构造器可能本身就是一种pattern，所以如果p和e不是同一种variant，会抛出a nonexhaustive binding 的异常。

Function-argument patterns 也和python的解包类似

注意，上述full_name函数的参数是个record的pattern（用的是{}，而不是小括号），所以需要特别注意的是SML中的函数都不需要用括号括起来，如果用小括号括起来代表是一个tuple（不论是定义，还是调用时都是，比如 f(1)，调用时相当于就是一种pattern match，跟 f 1的结果是一样的）

另外，由于函数都有且只有一个参数，如下的没有参数的函数也有一个参数：

fun hello() = print "Hello World!\n";

此时的参数type是unit，()是用来匹配unit的唯一value的pattern

A Little Type Inference

如果函数参数以pattern match的方式定义（且函数体中没有使用类似#1 或 #foo的方式访问元素），可以不表明类型。假如函数参数不使用pattern match的方式定义，而是使用一个某种tuple 或 record类型的参数，则必须标明类型，否则编译器不知道这个参数具体是一个怎么样（有多少元素或有哪些field）的tuple 或record。

例如：

fun sum_triple2 (triple: int*int*int) = 
	#1 triple + #2 triple + #3 triple

fun full_name2 (r:{first:string, middle:string, lats:string}) = 
	#first r ^ " " ^ #middle r ^ " " ^ #last r

(* 如果不标明类型就会抛出异常，例如 *)
fun sum_triple2 triple = 
	#1 triple + #2 triple + #3 triple

fun full_name2 r = 
	#first r ^ " " ^ #middle r ^ " " ^ #last r

编译器会根据函数内容判断类型，保证SML语言的一些基本特征，例如：

fun mystery x = case x of
	(1,b,c) => #2 x + 10
  | (a,b,c) => a * c

编译器的判断步骤：

首先根据(1,b,c)判断x的第一个元素为int；

其次由于x是元组，1和a在同一个位置必然是同样的类型，同时由于a*c必须同类型（基本特征1：运算必须同类型），判断x的第三个元素为int；且#2 x + 10运算也需要同类型，x的第二个元素也为int。

最后，由于（基本特征2：函数的返回值必须是同类型），且#2 x + 10和a*c都返回int，所以case的两种模式返回值类型不矛盾，必然是一个int。

因此：函数类型是int*int*int -> int

注意，如果编译器不能判断类型的参数就会是任意类型，例如’a 'b…，同时，如果参数在表达式中进行了运算，但又没指定类型，会默认是int类型。例如：

fun partial_sum (x,y,z) = 
	x+z

Polymorphic and Equality Types

这一节比较抽象，首先的一个rule是如果某个类型t1比t2更通用（例如’a比int更通用），就用t1类型代替t2类型的变量，然后在实际调用时使用t2。这里的思想其实就是多态，函数多态定义（不判断具体类型相当于每种类型的重载都定义了），调用的时候再确定具体的类型。

第二点rule是，我们可以组合某个通用类型与其他相等的通用类型（用来区别这些不同的类型），但type别名或者更换field顺序（通用性是相等的）不会使得类型更通用

相同类型，使用两个引号表示：''a，由表示逻辑运算的=运算得到。

这个运算不会像赋值或者算术运算一样得到一个具体的类型（或者默认获得int类型），而是得到’'a类型，表示两个变量的类型相同，但他们具体是什么类型不重要（更通用）：

Nested Patterns

嵌套pattern其实就是更灵活的使用pattern match，比如可以在pattern中解包（例如把每个元素是tuple的list解包到tuple的每个元素，(a,b,c) :: tl），或者按照想要的深度嵌套pattern（比如 x::y::zs ，可以用来匹配至少含有两个元素的list，x和y为单个元素，zx为子列表）

例子：

要实现zip的功能，先给了两个不好的例子

然后给了一个比较好的nest pattern的zip例子

然后是unzip的例子

嵌套pattern的其他例子：

Nested Patterns Precisely

Nested Pattern 匹配的细节，各种pattern都有一套独立的rule来进行match’和binding

Function Patterns

类似显式定义函数的重载（但参数仍然是同一种类型，只是值不同，pattern不同），用多种参数pattern直接作为函数的参数，而不是通过设定某个参数再使用case判断pattern。例如：

Exceptions

异常的关键词exception、raise和handle

跟其他语言的Exception类不太一样，SML的exception关键词定义的不是一个datatype，而相当于定义一个datatype 的constructor。调用时相当于是exn这个数据类型的一些值（例如MySecondException(7,9)是exn的一个值）。

Tail Recursion

递归通常不会比循环更复杂而且有一些优势，但我们需要讨论递归的效率

递归的调用栈和其他语言类似，这一节其实应该在这个课程中早一点讲（毕竟SML的很多函数都需要用到递归）

下面的例子中在递归返回之后函数没有其他的步骤要做（比如上一个例子中的与n的乘法）。这里通过acc参数跟着递归函数层层计算得到最终结果，调用栈返回的时候不会再改变这个值（不会再进行其他步骤，也不就会有计算）。尾递归的逻辑本质上和循环是一致的。

这里的递归调用栈只是一种理论上的模拟，但实际上SML为尾递归进行了优化。后面介绍例子。

尾递归：

值得注意的是SML中，编译器会为尾递归专门优化，由于尾递归的每个函数call返回值都相同，因此不需要把每个call都入栈记录下来，真实的情况是将上一个caller（上一轮递归的函数call）出栈，再让callee（被递归的函数call）入栈，比如下面的例子：此时递归过程只占用O(1)的栈空间。

尾递归生成列表时要注意列表的顺序，普通递归使用::符号一般不会改变参数列表的原有顺序（一般都是从最后一个元素开始运算，并且结果（先进入列表）放在列表末尾），尾递归实际上类似循环，所以是排在前面的元素（先进入列表）放在列表末尾，所以编写代码要注意自己调整顺序。

Accumulators for Tail Recursion

尾递归方法论：首先定义带有accumulator（累加变量）的helper function ，然后调用时指定accumulator初始值，返回时返回累加后的accumulator。其实可以当成循环变量来理解。

一些例子：

某些情况下，尾递归虽然比普通递归速度快，但都是同样的数量级。例如fact和sum函数都是O(n)。

但上面反转列表函数的第二个例子中，x::acc的耗时是常量，而第一个例子的 @ 运算是append，时间是O(n^2)，所以这个时候使用尾递归的特性来反转列表最好。

Perspective on Tail Recursion

虽然尾递归能够让递归的空间复杂度降低到常数O(1)，但不是所有场景都能用尾递归表示（甚至某些场景不能用常数或线性的空间复杂度来描述，例如二叉树）

更精准的定义尾递归，tail position，一般来说，作为直接返回值（输出值）的位置就是tail position