题目描述
这是 LeetCode 上的 391. 完美矩形 ，难度为 困难。
Tag : 「扫描线」
给你一个数组 rectangles ，其中 rectangles[i] = [xi, yi, ai, bi] 表示一个坐标轴平行的矩形。这个矩形的左下顶点是 (xi, yi) ，右上顶点是 (ai, bi) 。
如果所有矩形一起精确覆盖了某个矩形区域，则返回 true ；否则，返回 false 。
示例 1：
输入：rectangles = [[1,1,3,3],[3,1,4,2],[3,2,4,4],[1,3,2,4],[2,3,3,4]]
输出：true
解释：5 个矩形一起可以精确地覆盖一个矩形区域。 示例 2：
输入：rectangles = [[1,1,2,3],[1,3,2,4],[3,1,4,2],[3,2,4,4]]
输出：false
解释：两个矩形之间有间隔，无法覆盖成一个矩形。示例 3：
输入：rectangles = [[1,1,3,3],[3,1,4,2],[1,3,2,4],[2,2,4,4]]
输出：false
解释：因为中间有相交区域，虽然形成了矩形，但不是精确覆盖。提示：
- $1 <= rectangles.length <= 2 \times 10^4$
- $rectangles[i].length = 4$
- $-10^5 <= x_i, y_i, a_i, b_i <= 10^5$
扫描线
将每个矩形 $rectangles[i]$ 看做两条竖直方向的边，使用 $(x, y1, y2)$ 的形式进行存储（其中 $y1$ 代表该竖边的下端点，$y2$ 代表竖边的上端点），同时为了区分是矩形的左边还是右边，再引入一个标识位，即以四元组 $(x, y1, y2, flag)$ 的形式进行存储。
一个完美矩形的充要条件为：对于完美矩形的每一条非边缘的竖边，都「成对」出现（存在两条完全相同的左边和右边重叠在一起）；对于完美矩形的两条边缘竖边，均独立为一条连续的（不重叠）的竖边。
如图（红色框的为「完美矩形的边缘竖边」，绿框的为「完美矩形的非边缘竖边」）：
- 绿色：非边缘竖边必然有成对的左右两条完全相同的竖边重叠在一起；
- 红色：边缘竖边由于只有单边，必然不重叠，且连接成一条完成的竖边。
代码：
class Solution {
public boolean isRectangleCover(int[][] rectangles) {
int n = rectangles.length;
int[][] rs = new int[n * 2][4];
for (int i = 0, idx = 0; i < n; i++) {
int[] re = rectangles[i];
rs[idx++] = new int[]{re[0], re[1], re[3], 1};
rs[idx++] = new int[]{re[2], re[1], re[3], -1};
}
Arrays.sort(rs, (a,b)->{
if (a[0] != b[0]) return a[0] - b[0];
return a[1] - b[1];
});
n *= 2;
// 分别存储相同的横坐标下「左边的线段」和「右边的线段」 (y1, y2)
List l1 = new ArrayList<>(), l2 = new ArrayList<>();
for (int l = 0; l < n; ) {
int r = l;
l1.clear(); l2.clear();
// 找到横坐标相同部分
while (r < n && rs[r][0] == rs[l][0]) r++;
for (int i = l; i < r; i++) {
int[] cur = new int[]{rs[i][1], rs[i][2]};
List list = rs[i][3] == 1 ? l1 : l2;
if (list.isEmpty()) {
list.add(cur);
} else {
int[] prev = list.get(list.size() - 1);
if (cur[0] < prev[1]) return false; // 存在重叠
else if (cur[0] == prev[1]) prev[1] = cur[1]; // 首尾相连
else list.add(cur);
}
}
if (l > 0 && r < n) {
// 若不是完美矩形的边缘竖边，检查是否成对出现
if (l1.size() != l2.size()) return false;
for (int i = 0; i < l1.size(); i++) {
if (l1.get(i)[0] == l2.get(i)[0] && l1.get(i)[1] == l2.get(i)[1]) continue;
return false;
}
} else {
// 若是完美矩形的边缘竖边，检查是否形成完整一段
if (l1.size() + l2.size() != 1) return false;
}
l = r;
}
return true;
}
} - 时间复杂度：将
rectangles划分成边集的复杂度为 $O(n)$；对边集进行排序的复杂度为 $O(n\log{n})$，对排序好的边集进行遍历检查，每条边会被扫描线性次，复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$ - 空间复杂度：$O(n)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.391 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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