【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p26-28 F、f的性质、一、二维连续型求期望、方差

F、f的性质

做法：

上述公式的原理：

做一些题目来练习套公式。
例1：

解：
$$P\{X\le 2\}=F(2)=1-e^{-2}$$
例2：

解：
$$P\{0\le X\le 2\}=F(2)-F(0^{-})=F(2)-F(0)=1-e^{-2}$$

例3：

解：
大概就是这样判断：

$$\begin{gathered} F(1.5,2.5)=P\{X\le 1.5,Y\le 2.5\} \\ =P\{X=1,Y=1\}+P\{X=1,Y=2\} \\ =\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4} \end{gathered}$$
例4：

解：
可以用到的三条性质：
$$F(+\infty )=1，F(-\infty )=0，F(X_0^{+})=F(X_0)（右连续型）$$
这道题里F(-∞)=0没用上。

例5：

解：
用到的公式：带有-∞的都是0.
$$F(+\infty ,+\infty )=1，F(-\infty ,-\infty )=0,F(x,-\infty )=0,F(-\infty ,y)=0$$

例6：

解：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$$

例7：

解：
$$\iint f(x)dxdy=1$$
二重积分符号下面有个D没打出来。

一维连续型求期望、方差

做法：

练习套公式。
例1：

解：

例2：有很多分部积分法，建议把这个方法复习一下再往下做。

解：
EX：

注意：求xe^-x要用分部积分法：
$$\int udv=uv-\int vdu$$

E(X²):

EY:

其他：（上面的积分部分都要用分部积分法）

二维连续型求期望、方差

有两种做法：
方法一是把二维降成一维，然后用上节课的方法做。
本节主要用方法二：求什么就乘什么，然后求其总体的二重积分。

例1：

解：
EX：

E(X²)

EY:

其余步骤都一样。