坐标变换矩阵

图一 如图一所示：在由XYZ轴组成的空间坐标系中，假如存在一点(0,y,z)点。此时原点到(0,y,z)点的夹角为θ，设长度为r。对于点的表示可以为：
x=0;
y=r*cosθ；
z=r*sinθ；
当将坐标轴以X轴为中心旋转α角后，得到新的坐标系X'Y'Z'。如图二所示：

图二 此时原点到(0,y,z)点的夹角为θ-α。对于新坐标系X'Y'Z'中点(0,y,z)的新坐标为：
x' =0;
y' =r*cos(θ-α)
    =r*(cosθ*cosα+sinθ*sinα)
   =(r*cosθ)*cosα+(r*sinθ)*sinα
   =y*cosα+z*sinα
z' =r*sin(θ-α)
   =r*(sinθ*cosα-cosθ*sinα)
   =(r*sinθ)*cosα-(r*cosθ)*sinα
   =-y*sinα+z*cosα
综上：以矩阵的形式表示上面的变换即为：

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\alpha & sin\alpha \\ 0& -sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\end{array}$$
即绕X轴旋转坐标轴α角后，变换矩阵为：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\alpha & sin\alpha \\ 0& -sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]\end{array}$$

对于绕其他轴旋转后的变换矩阵同理：
沿Z轴旋转β后的变换矩阵为：

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}cos\beta & sin\beta & 0\\ -sin\beta & cos\beta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

沿Y轴旋转φ后的变换矩阵为：

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}cos\phi & 0& -sin\phi \\ 0& 1& 0\\ sin\phi & 0& cos\phi \end{array}\right]\end{array}$$