一杯敬朝阳一杯敬月光

概率 + 统计样本及抽样分布（六）

总体和样本

在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.

总体

对随机试验的某一数量指标进行试验或观察：

试验的全部可能的观察值称为总体
每一个可能观察值称为个体
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量

总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X 的值
一个总体对应一个随机变量X
不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体X
X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征

样本

总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参数的分布。
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”。
所抽取的部分个体称为样本。
样本中所包含的个体数目称为样本容量。

对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记为 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 。这样得到的随机样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体X的一个简单随机样本，与总体随机变量具有相同的分布。n称为这个样本的容量。

一旦取定一组样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ ，得到n个具体的数值 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ，称为样本的一次观察值，简称样本值。

最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：

代表性： $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 中每一个与所考察的总体有相同的分布.
独立性： $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是相互独立的随机变量.

总体、样本、样本值的关系

统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.

样本是联系二者的桥梁

总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.

若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为 $F^*(x_1,x_2,\cdots,x_n) = F(x_1)F(x_2)\cdots F(x_n)$

其简单随机样本的联合概率密度函数为 $f^*(x_1,x_2,\cdots,x_n) = f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)$

抽样分布

统计量与经验分布函数

统计量

由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.

这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量.

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体X的一个样本， $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 是 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的函数，若g中不含未知参数，则 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 是样本的一个统计量。

$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是样本，也是随机变量
统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
$g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是统计量 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的观察值。

几个常见统计量

样本平均值： $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ （它反映了总体均值的信息）

样本方差： $S^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar{X} )^2 = \frac{1}{n - 1}(\sum_{i=1}^nX_i^2 - n \bar{X}^2)$ （它反映了总体方差的信息）

样本标准差： $S = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^n(X_i -\bar{X} )^2}$

样本k阶原点矩： $A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^k \ \ k=1,2,\cdots$ （它反映了总体k 阶矩的信息）

样本k阶中心矩： $B_k= \frac{1}{n }\sum_{i=1}^n(X_i -\bar{X} )^k \ \ k=1,2,\cdots$ （它反映了总体k 阶中心矩的信息）

注意： $A_1 = \bar{X}, B_2 = \frac{n-1}{n}S^2,S^2=A_2-A_1^2$

统计量的观察值

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$

$s^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^n(x_i -\bar{x} )^2$

$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^n(x_i -\bar{x} )^2}$

$a_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^k \ \ k=1,2,\cdots$

$b_k= \frac{1}{n }\sum_{i=1}^n(x_i -\bar{x} )^k\ \ k=1,2,\cdots$

仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶（原点）矩以及样本 k 阶中心矩。

统计量的一些性质

设总体X的均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2$ ， $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体X的一个样本，则

$E(\bar{X})=E(X)=\mu$
$D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}=\sigma^2/n$
$E(S^2)=D(X)=\sigma^2$
若总体X的k阶矩 $E(X^k)=\mu_k$ 存在，则 $A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^k\overset{P}{\rightarrow} \mu_k\ \ k=1,2,\cdots$ （矩估计法的理论根据）

经验分布函数

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体F的一个样本，用 $s(x) |x| < \infty$ ，表示 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中不大于x的随机变量的个数

定义：经验分布函数为 $F_n(x) = \frac{1}{n}s(x)\ \ -\infty < x < \infty$

正态总体的三个常用抽样分布

统计量的分布称为抽样分布
总体分布已知时，抽样分布虽然是确定的，但一般来说难以求得
正态总体的三个常用抽样分布：
- $\chi ^ 2$ 分布
- 分布
- 分布

$\chi ^ 2$ 分布

$\chi ^ 2$ 分布是由正态分布派生出来的一种分布.

定义：设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立, 都服从正态分布，则称随机变量： $\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2$ 所服从的分布为自由度为 n 的 $\chi ^ 2$ 分布。记为 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$

$\chi ^ 2$ 分布的性质

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立, 都服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $\chi ^ 2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 \sim \chi^2(n)$
设 $X_1 \sim \chi^2(n_1),X_2 \sim \chi^2(n_2)$ ，且相互独立，则 $X_1 +X_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$ ，这个性质叫 $\chi ^ 2$ 分布的可加性.
若 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$ ， $\chi ^ 2$ 分布的数学期望和方差 $E(\chi^2) = n, D(\chi^2) = 2n$

T分布

定义：设 $X \sim N(0,1)$ , $Y \sim \chi^2(n)$ , 且X与Y相互独立，则称变量 $T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 所服从的分布为自由度为 n的 T分布，记为 $T \sim t(n)$ 。T分布又称为学生氏分布，它的概率密度函数为：

T分布的性质

T分布的密度函数关于对称，当n充分大时，妻徒刑近似于标准正态分布概率密度函数的图形，再由 $\Gamma$ 函数的性质有 $\lim_{n\rightarrow \infty}h(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$ ，即当n足够大时，
$t_{1-\alpha}(n) = -t_{\alpha}(n)$
时， $t_{\alpha}(n) \approx z_{\alpha}$

F分布

设 $U \sim \chi^2(n_1),V \sim \chi^2(n_2)$ ，U与V相互独立，则称随机变量 $F = \frac{U/n_1}{V/n_2}$ 服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作 $F \sim F(n_1,n_2)$ 。

F分布的性质

若 $F \sim F(n_1,n_2)$ ，则 $\frac{1}{F} = \frac{V/n_2}{U/n_1} \sim F(n_2,n_1)$
$F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}$

正态总体的样本均值与样本方差的分布

定理 1 (样本均值的分布)

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自正太总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本， $\bar{X}$ 是样本均值，则有 $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ ，即 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

n取不同值时样本均值 $\bar{X}$ 的分布

定理 2 (样本方差的分布)

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自正太总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本， $\bar{X}$ 和分别是样本均值和样本方差,则有

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim\chi^2(n-1)$
$\bar{X}$ 与独立

n取不同值时 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 的分布见右图

定理 3 (样本均值方差比的分布)

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自正太总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本， $\bar{X}$ 和分别是样本均值和样本方差,则有 $\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n - 1)$

定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布)

设 $X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ ，且X与Y独立, $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自X的样本， $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ 是来自Y的样本， $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别是这两个样本的样本均值，和分别是这两个样本的样本方差,则有

$\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)$
若 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ $\frac{\bar{X}-\bar{Y}-(\mu_1 - \mu_2)} { \sqrt{\frac{(n_1 - 1)S_1^2+ (n_2 - 1)S_2^2}{n_1+n_2-2}} {\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }} \sim t(n_1 + n_2 -2)$

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原文地址: http://www.cnblogs.com/astwish/p/3460618.html GNU C 的一大特色就是__attribute__ 机制。__attribute__ 可以设置函数属性（Function Attribute ）、变量属性（Variable Attribute ）和类型属性（Type Attribute ）。 __attribute__ 书写特征是：
jsoup使用笔记 alleni123 java 爬虫 JSoup
<dependency> <groupId>org.jsoup</groupId> <artifactId>jsoup</artifactId> <version>1.7.3</version> </dependency> 2014/08/28 今天遇到这种形式，
JAVA中的集合 Collectio 和Map的简单使用及方法百合不是茶 list map set
List ,set ,map的使用方法和区别 java容器类类库的用途是保存对象，并将其分为两个概念： Collection集合：一个独立的序列，这些序列都服从一条或多条规则;List必须按顺序保存元素，set不能重复元素；Queue按照排队规则来确定对象产生的顺序（通常与他们被插入的
杀LINUX的JOB进程 bijian1013 linux unix
今天发现数据库一个JOB一直在执行，都执行了好几个小时还在执行，所以想办法给删除掉系统环境： ORACLE 10G Linux操作系统操作步骤如下：第一步.查询出来那个job在运行，找个对应的SID字段 select * from dba_jobs_running--找到job对应的sid &n
Spring AOP详解 bijian1013 java spring AOP
最近项目中遇到了以下几点需求，仔细思考之后，觉得采用AOP来解决。一方面是为了以更加灵活的方式来解决问题，另一方面是借此机会深入学习Spring AOP相关的内容。例如，以下需求不用AOP肯定也能解决，至于是否牵强附会，仁者见仁智者见智。 1.对部分函数的调用进行日志记录，用于观察特定问题在运行过程中的函数调用
[Gson六]Gson类型适配器(TypeAdapter) bit1129 Adapter
TypeAdapter的使用动机 Gson在序列化和反序列化时，默认情况下，是按照POJO类的字段属性名和JSON串键进行一一映射匹配，然后把JSON串的键对应的值转换成POJO相同字段对应的值，反之亦然，在这个过程中有一个JSON串Key对应的Value和对象之间如何转换(序列化/反序列化)的问题。以Date为例，在序列化和反序列化时，Gson默认使用java.
【spark八十七】给定Driver Program，如何判断哪些代码在Driver运行，哪些代码在Worker上执行 bit1129 driver
Driver Program是用户编写的提交给Spark集群执行的application，它包含两部分作为驱动： Driver与Master、Worker协作完成application进程的启动、DAG划分、计算任务封装、计算任务分发到各个计算节点(Worker)、计算资源的分配等。计算逻辑本身，当计算任务在Worker执行时，执行计算逻辑完成application的计算任务
nginx 经验总结 ronin47 nginx 总结
　　　深感nginx的强大，只学了皮毛，把学下的记录。　　　获取Header 信息，一般是以$http_XX（ＸＸ是小写）获取body,通过接口，再展开，根据Ｋ取Ｖ　　　获取uri,以$arg_XX &n
轩辕互动-1.求三个整数中第二大的数2.整型数组的平衡点 bylijinnan 数组
import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.List; public class ExoWeb { public static void main(String[] args) { ExoWeb ew=new ExoWeb(); System.out.pri
Netty源码学习-Java-NIO-Reactor bylijinnan java 多线程 netty
Netty里面采用了NIO-based Reactor Pattern 了解这个模式对学习Netty非常有帮助参考以下两篇文章： http://jeewanthad.blogspot.com/2013/02/reactor-pattern-explained-part-1.html http://gee.cs.oswego.edu/dl/cpjslides/nio.pdf
AOP通俗理解 cngolon spring AOP
1.我所知道的aop 初看aop,上来就是一大堆术语，而且还有个拉风的名字，面向切面编程，都说是OOP的一种有益补充等等。一下子让你不知所措，心想着：怪不得很多人都和我说aop多难多难。当我看进去以后，我才发现：它就是一些java基础上的朴实无华的应用，包括ioc，包括许许多多这样的名词，都是万变不离其宗而已。 2.为什么用aop&nb
cursor variable 实例 ctrain variable
create or replace procedure proc_test01 as type emp_row is record( empno emp.empno%type, ename emp.ename%type, job emp.job%type, mgr emp.mgr%type, hiberdate emp.hiredate%type, sal emp.sal%t
shell报bash: service: command not found解决方法 daizj linux shell service jps
今天在执行一个脚本时，本来是想在脚本中启动hdfs和hive等程序，可以在执行到service hive-server start等启动服务的命令时会报错，最终解决方法记录一下：脚本报错如下： ./olap_quick_intall.sh: line 57: service: command not found ./olap_quick_intall.sh: line 59
40个迹象表明你还是PHP菜鸟 dcj3sjt126com 设计模式 PHP 正则表达式 oop
你是PHP菜鸟，如果你：1. 不会利用如phpDoc 这样的工具来恰当地注释你的代码2. 对优秀的集成开发环境如Zend Studio 或Eclipse PDT 视而不见3. 从未用过任何形式的版本控制系统，如Subclipse4. 不采用某种编码与命名标准，以及通用约定，不能在项目开发周期里贯彻落实5. 不使用统一开发方式6. 不转换（或）也不验证某些输入或SQL查询串（译注：参考PHP相关函
Android逐帧动画的实现 dcj3sjt126com android
一、代码实现： private ImageView iv; private AnimationDrawable ad; @Override protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) { super.onCreate(savedInstanceState); setContentView(R.layout
java远程调用linux的命令或者脚本 eksliang linux ganymed-ssh2
转载请出自出处： http://eksliang.iteye.com/blog/2105862 Java通过SSH2协议执行远程Shell脚本(ganymed-ssh2-build210.jar) 使用步骤如下： 1.导包官网下载: http://www.ganymed.ethz.ch/ssh2/ ma
adb端口被占用问题 gqdy365 adb
最近重新安装的电脑，配置了新环境，老是出现： adb server is out of date. killing... ADB server didn't ACK * failed to start daemon * 百度了一下，说是端口被占用，我开个eclipse，然后打开cmd，就提示这个，很烦人。一个比较彻底的解决办法就是修改
ASP.NET使用FileUpload上传文件 hvt .net C#hovertree asp.net webform
前台代码： <asp:FileUpload ID="fuKeleyi" runat="server" /> <asp:Button ID="BtnUp" runat="server" onclick="BtnUp_Click" Text="上传" />
代码之谜（四）- 浮点数（从惊讶到思考） justjavac 浮点数精度代码之谜 IEEE
在『代码之谜』系列的前几篇文章中，很多次出现了浮点数。浮点数在很多编程语言中被称为简单数据类型，其实，浮点数比起那些复杂数据类型（比如字符串）来说，一点都不简单。单单是说明 IEEE浮点数就可以写一本书了，我将用几篇博文来简单的说说我所理解的浮点数，算是抛砖引玉吧。一次面试记得多年前我招聘 Java 程序员时的一次关于浮点数、二分法、编码的面试，多年以后，他已经称为了一名很出色的
数据结构随记_1 lx.asymmetric 数据结构笔记
第一章 1.数据结构包括数据的逻辑结构、数据的物理/存储结构和数据的逻辑关系这三个方面的内容。 2.数据的存储结构可用四种基本的存储方法表示，它们分别是顺序存储、链式存储、索引存储和散列存储。 3.数据运算最常用的有五种，分别是查找/检索、排序、插入、删除、修改。 4.算法主要有以下五个特性：输入、输出、可行性、确定性和有穷性。 5.算法分析的
linux的会话和进程组网络接口 linux
会话：一个或多个进程组。起于用户登录，终止于用户退出。此期间所有进程都属于这个会话期。会话首进程：调用setsid创建会话的进程1.规定组长进程不能调用setsid，因为调用setsid后，调用进程会成为新的进程组的组长进程.如何保证？先调用fork，然后终止父进程，此时由于子进程的进程组ID为父进程的进程组ID，而子进程的ID是重新分配的，所以保证子进程不会是进程组长，从而子进程可以调用se
二维数组元素的连续求解 1140566087 二维数组 ACM
import java.util.HashMap; public class Title { public static void main(String[] args){ f(); } // 二位数组的应用 //12、二维数组中，哪一行或哪一列的连续存放的0的个数最多，是几个0。注意，是“连续”。 public static void f(){
也谈什么时候Java比C++快 windshome java C++
刚打开iteye就看到这个标题“Java什么时候比C++快”，觉得很好笑。你要比，就比同等水平的基础上的相比，笨蛋写得C代码和C++代码，去和高手写的Java代码比效率，有什么意义呢？我是写密码算法的，深刻知道算法C和C++实现和Java实现之间的效率差，甚至也比对过C代码和汇编代码的效率差，计算机是个死的东西，再怎么优化，Java也就是和C

按字母分类： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 其他