uva 10328 - Coin Toss 投硬币（dp递推，大数）

 

题意:抛出n次硬币（有顺序），求至少k个以上的连续正面的情况的种数。

思路：转换成求抛n个硬币，至多k-1个连续的情况种数，用所有可能出现的情况种数减去至多k-1个的情况，就得到答案了。此题涉及大数加减。

分析：

（1）假设n=k，那么只有一种情况。

（2）假设n=k+1，那么有3种情况，包含k个的两种，k+1个的一种。

（3）假设k=1，那么只有无正面这一种的情况不能被考虑，其他都能算，那么就是（1<<n）-1种。（n个硬币有2^n种结果）

（4）其他情况考虑递推。先把问题的规模降低，最小就是1了，再逐渐增大，每次规模增加1，直到n为止。用dp[n+1]这么大的数组就够了，而dp[n]表示从第1个硬币到第n个硬币中最多出现k-1个连续正面的情况种数。到这步，可以直接将拿到的k自减一，假设结果为t。那么问题转成求抛第i个硬币时，它和它前面不能超过t个正面。

（5）基于上面第4步的分析。可以看出，在抛第t个之前（包括第t个），最多就出现t个正面，不可能超过抛的次数的。那么dp[0~k]可以一次性初始化为1<<i，也就是有这么多抛法其结果都不会超过t个正面啦。

（6）考虑在抛第k+1个的情况，顶多也就一种不合法，也就是全面都是正面，那么种数就是(1<<k+1)-1。

（7）考虑在抛大于第k+2的情况，不妨设为dp[k+2]=dp[k+1]*2，但是这里面包含了大于t个的情况，只可能出现这样的情况：第k+2个刚好抛到正面，如果其前面与其连续的刚好有t个正面，那么就会造成连续t+1个正面，非法！但是不可能出现多于t+2个连续的可能，如果多于t+2，那么假设当前为正面，其前面必须有t+1个连续，而dp[k+1]中不会记录有非法的情况，所以不考虑。那么出现与第k+2个刚好连起来是t+1个连续的情况会有多少种?(k+2)-t-1这个位置肯定是反面的，不然就会造成连续t+2个了，那么在k+2-t-2及其之前所有不超过t个连续的情况种数就是出现“与k相连t+1个正面”的情况种数，减去这个数量即可。

总之，对于i大于k+2的，dp[i]=dp[i-1]*2-dp[i-t-2]。推到dp[n]时，所有可能都出来了。用所有可能数减去此数：答案= (1<<n)-dp[n]。

 

  1 #include <iostream>

  2 #include <vector>

  3 #include <cstdio>

  4 #include <cstring>

  5 #include <string>

  6 #include <algorithm>

  7 using namespace std;

  8 int n, k;

  9 long long a[70];

 10 vector<string> ans;

 11 vector<string> pre;

 12 

 13 bool comp(string num1,string num2)

 14 {

 15     int leng=num1.length(),i;

 16     for(i=0;i<leng;i++){if(num1[i]!='0')break;}

 17     num1=num1.substr(i,leng);

 18     if(num1.length()==0)num1="0";

 19 

 20     leng=num2.length();

 21     for(i=0;i<leng;i++){if(num2[i]!='0')break;}

 22     num2=num2.substr(i,leng);

 23     if(num2.length()==0)num2="0";

 24 

 25     if(num1.length()>num2.length())return true;

 26     else if(num1.length()==num2.length())

 27     {

 28         if(num1>=num2)return true;

 29         else return false;

 30     }

 31     else return false;

 32 }

 33 string _minus(string num1,string num2)

 34 {

 35     string result;

 36     if(comp(num2,num1)){string ss=num1;num1=num2;num2=ss;}

 37     reverse(num1.begin(),num1.end());

 38     reverse(num2.begin(),num2.end());

 39 

 40     result="";

 41 

 42     int i;

 43     for(i=0;i<int(num1.length())&&i<int(num2.length());i++)

 44     {

 45         char c=num1[i]-num2[i]+48;

 46         result=result+c;

 47     }

 48     if(i<int(num1.length()))

 49         for(;i<int(num1.length());i++)

 50             result=result+num1[i];

 51 

 52     int jiewei=0;

 53     for(i=0;i<int(result.length());i++)

 54     {

 55         int zhi=result[i]-48+jiewei;

 56         if(zhi<0)   {zhi=zhi+10;jiewei=-1;}

 57         else    jiewei=0;

 58         result[i]=(char)(zhi+48);

 59     }

 60 

 61     for(i=result.length()-1;i>=0;i--)

 62         if(result[i]!='0')

 63             break;

 64 

 65     result=result.substr(0,i+1);

 66     reverse(result.begin(),result.end());

 67     if(result.length()==0)result="0";

 68     return result;

 69 }

 70 string sum(string s1,string s2)

 71 {

 72     if(s1.length()<s2.length())

 73     {

 74         string temp=s1;

 75         s1=s2;

 76         s2=temp;

 77     }

 78     int i,j;

 79     for(i=s1.length()-1,j=s2.length()-1;i>=0;i--,j--)

 80     {

 81         s1[i]=char(s1[i]+(j>=0?s2[j]-'0':0));   //注意细节

 82         if(s1[i]-'0'>=10)

 83         {

 84             s1[i]=char((s1[i]-'0')%10+'0');

 85             if(i) s1[i-1]++;

 86             else s1='1'+s1;

 87         }

 88     }

 89     return s1;

 90 }

 91 

 92 void cal64()

 93 {

 94     ans[0]="1";

 95     for(int i=1; i<=k; i++)

 96         ans[i]=pre[i];

 97     string tmp= sum(ans[k], ans[k]);

 98     ans[k+1]=_minus(tmp,"1");

 99 

100     for(int i=k+2; i<=n; i++)

101     {

102         tmp=sum( ans[i-1], ans[i-1] );

103         ans[i]=_minus(tmp,ans[i-k-2]);

104     }

105     cout<<_minus(pre[n], ans[n])<<endl;

106 

107 }

108 

109 void cal63()

110 {

111     a[0]=1;

112     for(int i=1; i<=k; i++)      //小于k的情况，直接2^k

113         a[i]=a[i-1]+a[i-1];

114 

115     a[k+1]=a[k]+a[k]-1;

116     for(int i=k+2; i<=n; i++)

117         a[i] = a[i-1]-a[i-k-2]+a[i-1];

118 

119     cout<<((long long)1<<n)-a[n]<<endl;

120 }

121 void init()

122 {

123     string tmp;

124     ans.resize(103,tmp);

125     pre.resize(103,tmp);

126     pre[0]="1";

127     for(int i=1; i<103; i++)

128         pre[i]=sum(pre[i-1], pre[i-1]);

129 }

130 int main()

131 {

132     //freopen("input.txt","r",stdin);

133     init();

134     while(cin>>n>>k)

135     {

136 

137         if(n==k)

138         {

139             cout<<"1"<<endl;

140             continue;

141         }

142         if(n==k+1)

143         {

144             cout<<"3"<<endl;

145             continue;

146         }

147         if(k==1)

148         {

149             cout<<_minus(pre[n],"1")<<endl;

150             continue;

151         }

152         k--;

153         if(n<62)    //这里对抛62次以下的情况用longlong直接干掉。

154             cal63();

155         else    //大于62就用大数来算

156             cal64();

157 

158     }

159     return 0;

160 }

AC代码