数学建模之Python-插值与最小二乘法拟合

前言：

插值请见此知乎笔记：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/390028714

一维插值：

代码（一维插值）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import interp1d
x=np.arange(0,25,2)
y=np.array([12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13])
xnew=np.linspace(0,24,500)
print(xnew)
f1=interp1d(x,y);y1=f1(xnew);
f2=interp1d(x,y,'cubic');y2=f2(xnew);
plt.rc('font',size=16);plt.rc('font',family='SimHei')
plt.subplot(121),plt.plot(xnew,y1);plt.xlabel("分段线性插值")
plt.subplot(122);plt.plot(xnew,y2);plt.xlabel("三次样条插值")
plt.show()

ps：

二维网格插值：

代码（python数学建模实验代码好像有点问题 等高线图缺参画不出来）：

#程序文件名Pex7_5.py
from mpl_toolkits import mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.linalg import norm
from scipy.interpolate import interp2d

z=np.loadtxt("Pdata7_5.txt")  #加载高程数据
x=np.arange(0,1500,100)
y=np.arange(1200,-100,-100)
f=interp2d(x, y, z, 'cubic')
xn=np.linspace(0,1400,141)
yn=np.linspace(0,1200,121)
zn=f(xn, yn)

m=len(xn); n=len(yn); s=0;
for i in np.arange(m-1):
    for j in np.arange(n-1):
        p1=np.array([xn[i],yn[j],zn[j,i]])
        p2=np.array([xn[i+1],yn[j],zn[j,i+1]])
        p3=np.array([xn[i+1],yn[j+1],zn[j+1,i+1]])
        p4=np.array([xn[i],yn[j+1],zn[j+1,i]])
        p12=norm(p1-p2); p23=norm(p3-p2); p13=norm(p3-p1);
        p14=norm(p4-p1); p34=norm(p4-p3);
        L1=(p12+p23+p13)/2;s1=np.sqrt(L1*(L1-p12)*(L1-p23)*(L1-p13));
        L2=(p13+p14+p34)/2; s2=np.sqrt(L2*(L2-p13)*(L2-p14)*(L2-p34));
        s=s+s1+s2;
print("区域的面积为：", s)

plt.rc('font',size=16);plt.rc('font',family='SimHei')
plt.subplot(121)
C = plt.contour(xn,yn,zn,  8, colors='black')
	# 8代表等高线的密集程度，这里被分为10个部分。如果是0，则图像被一分为二。
	# 可以将其设置为 20观察变化；
# 等高线之间的颜色填充，可选
plt.contourf(xn,yn,zn, 8, alpha=.75, cmap='gray_r')
plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)
	# inline=True，表示高度写在等高线上
# 关闭坐标轴
plt.xticks([])
plt.yticks([])
ax=plt.subplot(122,projection='3d');
X,Y=np.meshgrid(xn,yn)
ax.plot_surface(X, Y, zn,cmap='viridis')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$y$'); ax.set_zlabel('$z$')
plt.show()
#
# plt.rc('font',size=16); plt.rc('text',usetex=True)
# plt.subplot(121); contr=plt.contour(xn,yn,zn)
# plt.clabel(contr)
# #plt.xlabel('$x$'); plt.ylabel('$y$',rotation=90)
# ax=plt.subplot(122,projection='3d');
# X,Y=np.meshgrid(xn,yn)
# ax.plot_surface(X, Y, zn,cmap='viridis')
# ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$y$'); ax.set_zlabel('$z$')
# # plt.savefig('figure7_5.png',dpi=500);
plt.show()

二维散乱点插值

#程序文件名Pex7_6.py
from mpl_toolkits import mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import griddata
x=np.array([129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5])
y=np.array([7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5])
z=-np.array([4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9])
xy=np.vstack([x,y]).T
xn=np.linspace(x.min(), x.max(), 100)
yn=np.linspace(y.min(), y.max(), 100)
xng, yng = np.meshgrid(xn,yn)  #构造网格节点
zn=griddata(xy, z, (xng, yng), method='nearest')  #最近邻点插值


plt.rc('font',size=16);plt.rc('font',family='SimHei')
plt.subplot(121)
C = plt.contour(xn,yn,zn,  8, colors='black')
	# 8代表等高线的密集程度，这里被分为10个部分。如果是0，则图像被一分为二。
	# 可以将其设置为 20观察变化；
# 等高线之间的颜色填充，可选
plt.contourf(xn,yn,zn, 8, alpha=.75, cmap='gray_r')
plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)
	# inline=True，表示高度写在等高线上
# 关闭坐标轴
plt.xticks([])
plt.yticks([])
ax=plt.subplot(121,projection='3d');
ax.plot_surface(xng, yng, zn,cmap='viridis')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$y$'); ax.set_zlabel('$z$')



# plt.rc('font',size=16); plt.rc('text',usetex=True)
ax=plt.subplot(121,projection='3d');
ax.plot_surface(xng, yng, zn,cmap='viridis')
ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$y$'); ax.set_zlabel('$z$')

plt.subplot(122)
C = plt.contour(xn,yn,zn,8, colors='black')
# 	# 8代表等高线的密集程度，这里被分为10个部分。如果是0，则图像被一分为二。
# 	# 可以将其设置为 20观察变化；
# # 等高线之间的颜色填充，可选
# plt.contourf(xn,yn,zn, 8, alpha=.75, cmap='gray_r')
plt.clabel(C, inline=True, fontsize=10)
# 	# inline=True，表示高度写在等高线上
# # 关闭坐标轴
plt.xticks([])
plt.yticks([])

plt.show()

最小二乘法拟合：

理论请见《python数学建模与实验》242页

1.polyfit的python实现

代码：

#程序文件名Pex7_7.py
from numpy import polyfit, polyval, array, arange
from matplotlib.pyplot import plot,show,rc
x0=arange(0, 1.1, 0.1)
y0=array([-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2])
p=polyfit(x0, y0, 2) #拟合二次多项式
print("拟合二次多项式的从高次幂到低次幂系数分别为:",p)
yhat=polyval(p,[0.25, 0.35]); print("预测值分别为：", yhat)
rc('font',size=16)
plot(x0, y0, '*', x0, polyval(p, x0), '-'); show()

2.curve_fit的python实现

代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
y=lambda x, a, b, c: a*x**2+b*x+c
x0=np.arange(0, 1.1, 0.1)
y0=np.array([-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2])
popt, pcov=curve_fit(y, x0, y0)
print("拟合的参数值为：", popt)
print("预测值分别为：", y(np.array([0.25, 0.35]), *popt))

3.拟合固定方程式

4.拟合曲面图形

代码：

from mpl_toolkits import mplot3d
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt
m=200; n=300
x=np.linspace(-6, 6, m); y=np.linspace(-8, 8, n);
x2, y2 = np.meshgrid(x, y)
x3=np.reshape(x2,(1,-1)); y3=np.reshape(y2, (1,-1))
xy=np.vstack((x3,y3))
def Pfun(t, m1, m2, s):
    return np.exp(-((t[0]-m1)**2+(t[1]-m2)**2)/(2*s**2))
z=Pfun(xy, 1, 2, 3); zr=z+0.2*np.random.normal(size=z.shape) #噪声数据
popt, pcov=curve_fit(Pfun, xy, zr)   #拟合参数
print("三个参数的拟合值分别为：",popt)
zn=Pfun(xy, *popt)  #计算拟合函数的值
zn2=np.reshape(zn, x2.shape)
plt.rc('font',size=16)
ax=plt.axes(projection='3d') #创建一个三维坐标轴对象
ax.plot_surface(x2, y2, zn2,cmap='gist_rainbow')
plt.savefig("figure7_10.png", dpi=500); plt.show()