L2W1作业3 梯度检验
欢迎来到本周的最后作业！在本作业中，你将学习实现和使用梯度检验。
假设你是致力于在全球范围内提供移动支付的团队的一员，被上级要求建立深度学习模型来检测欺诈行为–每当有人进行支付时，你都应该确认该支付是否可能是欺诈性的，例如用户的帐户已被黑客入侵。
但是模型的反向传播很难实现，有时还会有错误。因为这是关键的应用任务，所以你公司的CEO要反复确定反向传播的实现是正确的。CEO要求你证明你的反向传播实际上是有效的！为了保证这一点，你将应用到“梯度检验”。
让我们开始做吧！
In [1]:
cd ../input/deeplearning34288
/home/kesci/input/deeplearning34288
In [2]:
# Packages
import numpy as np
from testCases import *
from gc_utils import sigmoid, relu, dictionary_to_vector, vector_to_dictionary, gradients_to_vector
1 梯度检验原理
反向传播计算梯度 ∂ J ∂ θ \frac{\partial J}{\partial \theta} ∂θ∂J，其中 θ \theta θ表示模型的参数。使用正向传播和损失函数来计算J。
由于正向传播相对容易实现，相信你有信心能做到这一点，确定100％计算正确的损失J。为此，你可以使用J来验证代码 ∂ J ∂ θ \frac{\partial J}{\partial \theta} ∂θ∂J。
让我们回顾一下导数（或者说梯度）的定义：
∂ J ∂ θ = lim ε → 0 J ( θ + ε ) − J ( θ − ε ) 2 ε (1) \frac{\partial J}{\partial \theta} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{J(\theta + \varepsilon) - J(\theta - \varepsilon)}{2 \varepsilon} \tag{1} ∂θ∂J=ε→0lim2εJ(θ+ε)−J(θ−ε)(1)
如果你还不熟悉 lim ε → 0 \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} ε→0lim表示法，其意思只是“当ε值趋向很小时”。
我们知道以下内容：
- ∂ J ∂ θ \frac{\partial J}{\partial \theta} ∂θ∂J是你要确保计算正确的对象。
- 你可以计算 J ( θ + ε ) J(\theta + \varepsilon) J(θ+ε)和 J ( θ − ε ) J(\theta - \varepsilon) J(θ−ε)（在θ是实数的情况下），因为要保证J的实现是正确的。
让我们使用方程式（1）和 ε的一个小值来说服CEO你计算 ∂ J ∂ θ \frac{\partial J}{\partial \theta} ∂θ∂J的代码是正确的！
2 一维梯度检查
思考一维线性函数 J ( θ ) = θ x J(\theta) = \theta x J(θ)=θx，该模型仅包含一个实数值参数 θ，并以x作为输入。
你将实现代码以计算 J ( . ) J(.) J(.)及其派生 ∂ J ∂ θ \frac{\partial J}{\partial \theta} ∂θ∂J，然后，你将使用梯度检验来确保J的导数计算正确。
图1：一维线性模型
上图显示了关键的计算步骤：首先从x开始，再评估函数 J ( x ) J(x) J(x)（正向传播），然后计算导数 ∂ J ∂ θ \frac{\partial J}{\partial \theta} ∂θ∂J（反向传播）。
练习：为此简单函数实现“正向传播”和“向后传播”。 即在两个单独的函数中，计算 J ( . ) J(.) J(.)（正向传播）及其相对于θ（反向传播）的导数。
In [3]:
# GRADED FUNCTION: forward_propagation
def forward_propagation(x, theta):
"""
Implement the linear forward propagation (compute J) presented in Figure 1 (J(theta) = theta * x)
Arguments:
x -- a real-valued input
theta -- our parameter, a real number as well
Returns:
J -- the value of function J, computed using the formula J(theta) = theta * x
"""
### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
J = theta * x
### END CODE HERE ###
return J
In [4]:
x, theta = 2, 4
J = forward_propagation(x, theta)
print ("J = " + str(J))
J = 8
预期输出:
J = 8
练习：现在，执行图1的反向传播步骤（导数计算）。也就是说，计算 J ( θ ) = θ x J(\theta) = \theta x J(θ)=θx 相对于 θ的导数。为避免进行演算，你应该得到 d t h e t a = ∂ J ∂ θ = x dtheta = \frac { \partial J }{ \partial \theta} = x dtheta=∂θ∂J=x。
In [5]:
# GRADED FUNCTION: backward_propagation
def backward_propagation(x, theta):
"""
Computes the derivative of J with respect to theta (see Figure 1).
Arguments:
x -- a real-valued input
theta -- our parameter, a real number as well
Returns:
dtheta -- the gradient of the cost with respect to theta
"""
### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
dtheta = x
### END CODE HERE ###
return dtheta
In [10]:
x, theta = 2, 4
dtheta = backward_propagation(x, theta)
print ("dtheta = " + str(dtheta))
dtheta = 2
预期输出:
dtheta = 2
练习：为了展示backward_propagation（）函数正确计算了梯度 ∂ J ∂ θ \frac{\partial J}{\partial \theta} ∂θ∂J，让我们实施梯度检验。
说明：
-
首先使用上式（1）和=ε的极小值计算“gradapprox”。以下是要遵循的步骤：
- θ + = θ + ε \theta^{+} = \theta + \varepsilon θ+=θ+ε
- θ − = θ − ε \theta^{-} = \theta - \varepsilon θ−=θ−ε
- J + = J ( θ + ) J^{+} = J(\theta^{+}) J+=J(θ+)
- J − = J ( θ − ) J^{-} = J(\theta^{-}) J−=J(θ−)
- g r a d a p p r o x = J + − J − 2 ε gradapprox = \frac{J^{+} - J^{-}}{2 \varepsilon} gradapprox=2εJ+−J−
-
然后使用反向传播计算梯度，并将结果存储在变量“grad”中
-
最后，使用以下公式计算“gradapprox”和“grad”之间的相对差：
d i f f e r e n c e = ∣ ∣ g r a d − g r a d a p p r o x ∣ ∣ 2 ∣ ∣ g r a d ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ g r a d a p p r o x ∣ ∣ 2 (2) difference = \frac {\mid\mid grad - gradapprox \mid\mid_2}{\mid\mid grad \mid\mid_2 + \mid\mid gradapprox \mid\mid_2} \tag{2} difference=∣∣grad∣∣2+∣∣gradapprox∣∣2∣∣grad−gradapprox∣∣2(2)你需要3个步骤来计算此公式：
-
- 使用np.linalg.norm（…）计算分子
-
- 计算分母，调用np.linalg.norm（…）两次
-
- 相除
-
-
如果差异很小（例如小于 1 0 − 7 10^{-7} 10−7），则可以确信正确计算了梯度。否则，梯度计算可能会出错。
In [6]:
# GRADED FUNCTION: gradient_check
def gradient_check(x, theta, epsilon = 1e-7):
"""
Implement the backward propagation presented in Figure 1.
Arguments:
x -- a real-valued input
theta -- our parameter, a real number as well
epsilon -- tiny shift to the input to compute approximated gradient with formula(1)
Returns:
difference -- difference (2) between the approximated gradient and the backward propagation gradient
"""
# Compute gradapprox using left side of formula (1). epsilon is small enough, you don't need to worry about the limit.
### START CODE HERE ### (approx. 5 lines)
thetaplus = theta + epsilon # Step 1
thetaminus = theta - epsilon # Step 2
J_plus = forward_propagation(x, thetaplus) # Step 3
J_minus = forward_propagation(x, thetaminus) # Step 4
gradapprox = (J_plus - J_minus) / (2 * epsilon) # Step 5
### END CODE HERE ###
# Check if gradapprox is close enough to the output of backward_propagation()
### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
grad = backward_propagation(x, theta)
### END CODE HERE ###
### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox) # Step 1'
denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox) # Step 2'
difference = numerator / denominator # Step 3'
### END CODE HERE ###
if difference < 1e-7:
print ("The gradient is correct!")
else:
print ("The gradient is wrong!")
return difference
In [7]:
x, theta = 2, 4
difference = gradient_check(x, theta)
print("difference = " + str(difference))
The gradient is correct!
difference = 2.919335883291695e-10
预期输出:
The gradient is correct!
difference = 2.919335883291695e-10
Nice！差异小于阈值 1 0 − 7 10^{-7} 10−7。因此可以放心，你已经在backward_propagation（）中正确计算了梯度。
现在，在更一般的情况下，你的损失函数J具有多个单个1D输入。当你训练神经网络时， θ \theta θ实际上由多个矩阵 W [ l ] W^{[l]} W[l]组成，并加上偏差 b [ l ] b^{[l]} b[l]！重要的是要知道如何对高维输入进行梯度检验。我们开始动手吧！
3 N维梯度检验
下图描述了欺诈检测模型的正向传播和反向传播：
图2：深层神经网络
LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
让我们看一下正向传播和反向传播的实现。
In [8]:
def forward_propagation_n(X, Y, parameters):
"""
Implements the forward propagation (and computes the cost) presented in Figure 3.
Arguments:
X -- training set for m examples
Y -- labels for m examples
parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3":
W1 -- weight matrix of shape (5, 4)
b1 -- bias vector of shape (5, 1)
W2 -- weight matrix of shape (3, 5)
b2 -- bias vector of shape (3, 1)
W3 -- weight matrix of shape (1, 3)
b3 -- bias vector of shape (1, 1)
Returns:
cost -- the cost function (logistic cost for one example)
"""
# retrieve parameters
m = X.shape[1]
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
W3 = parameters["W3"]
b3 = parameters["b3"]
# LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
Z1 = np.dot(W1, X) + b1
A1 = relu(Z1)
Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
A2 = relu(Z2)
Z3 = np.dot(W3, A2) + b3
A3 = sigmoid(Z3)
# Cost
logprobs = np.multiply(-np.log(A3),Y) + np.multiply(-np.log(1 - A3), 1 - Y)
cost = 1./m * np.sum(logprobs)
cache = (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)
return cost, cache
现在，运行反向传播。
In [9]:
def backward_propagation_n(X, Y, cache):
"""
Implement the backward propagation presented in figure 2.
Arguments:
X -- input datapoint, of shape (input size, 1)
Y -- true "label"
cache -- cache output from forward_propagation_n()
Returns:
gradients -- A dictionary with the gradients of the cost with respect to each parameter, activation and pre-activation variables.
"""
m = X.shape[1]
(Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
dZ3 = A3 - Y
dW3 = 1./m * np.dot(dZ3, A2.T)
db3 = 1./m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims = True)
dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
dW2 = 1./m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2
db2 = 1./m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True)
dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
dW1 = 1./m * np.dot(dZ1, X.T)
db1 = 4./m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True)
gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,
"dA2": dA2, "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2,
"dA1": dA1, "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
return gradients
你在欺诈检测测试集上获得了初步的实验结果，但是这并不是100％确定的模型，毕竟没有东西是完美的！让我们实现梯度检验以验证你的梯度是否正确。
梯度检验原理
与1和2中一样，你想将“gradapprox”与通过反向传播计算的梯度进行比较。公式仍然是：
∂ J ∂ θ = lim ε → 0 J ( θ + ε ) − J ( θ − ε ) 2 ε (3) \frac{\partial J}{\partial \theta} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{J(\theta + \varepsilon) - J(\theta - \varepsilon)}{2 \varepsilon} \tag{3} ∂θ∂J=ε→0lim2εJ(θ+ε)−J(θ−ε)(3)
但是，θ不再是标量。 而是一个叫做“参数”的字典。 我们为你实现了一个函数"dictionary_to_vector()"。它将“参数”字典转换为称为“值”的向量，该向量是通过将所有参数(W1, b1, W2, b2, W3, b3)重塑为向量并将它们串联而获得的。
反函数是“vector_to_dictionary”，它输出回“parameters”字典。
图2：dictionary_to_vector（）和vector_to_dictionary（）
你将在 gradient_check_n()中用到这些函数
我们还使用gradients_to_vector()将“gradients”字典转换为向量“grad”。
练习：实现gradient_check_n()。
说明：这是伪代码，可帮助你实现梯度检验。
For each i in num_parameters:
-
计算
J_plus [i]:-
将 θ + \theta^{+} θ+设为
np.copy(parameters_values) -
将 θ i + \theta^{+}_i θi+ 设为 θ i + + ε \theta^{+}_i + \varepsilon θi++ε
-
使用
forward_propagation_n(x, y, vector_to_dictionary(θ + \theta^{+} θ+))计算 J i + J^{+}_i Ji+
-
-
计算
J_minus [i]：也是用 θ − \theta^{-} θ− -
计算 g r a d a p p r o x [ i ] = J i + − J i − 2 ε gradapprox[i] = \frac{J^{+}_i - J^{-}_i}{2 \varepsilon} gradapprox[i]=2εJi+−Ji−
因此，你将获得向量gradapprox，其中gradapprox[i]是相对于parameter_values[i]的梯度的近似值。现在，你可以将此gradapprox向量与反向传播中的梯度向量进行比较。就像一维情况（步骤1’，2’，3’）一样计算：
d i f f e r e n c e = ∥ g r a d − g r a d a p p r o x ∥ 2 ∥ g r a d ∥ 2 + ∥ g r a d a p p r o x ∥ 2 (4) difference = \frac {\| grad - gradapprox \|_2}{\| grad \|_2 + \| gradapprox \|_2 } \tag{4} difference=∥grad∥2+∥gradapprox∥2∥grad−gradapprox∥2(4)
In [10]:
# GRADED FUNCTION: gradient_check_n
def gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y, epsilon = 1e-7):
"""
Checks if backward_propagation_n computes correctly the gradient of the cost output by forward_propagation_n
Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3":
grad -- output of backward_propagation_n, contains gradients of the cost with respect to the parameters.
x -- input datapoint, of shape (input size, 1)
y -- true "label"
epsilon -- tiny shift to the input to compute approximated gradient with formula(1)
Returns:
difference -- difference (2) between the approximated gradient and the backward propagation gradient
"""
# Set-up variables
parameters_values, _ = dictionary_to_vector(parameters)
grad = gradients_to_vector(gradients)
num_parameters = parameters_values.shape[0]
J_plus = np.zeros((num_parameters, 1))
J_minus = np.zeros((num_parameters, 1))
gradapprox = np.zeros((num_parameters, 1))
# Compute gradapprox
for i in range(num_parameters):
# Compute J_plus[i]. Inputs: "parameters_values, epsilon". Output = "J_plus[i]".
# "_" is used because the function you have to outputs two parameters but we only care about the first one
### START CODE HERE ### (approx. 3 lines)
thetaplus = np.copy(parameters_values) # Step 1
thetaplus[i][0] = thetaplus[i][0] + epsilon # Step 2
J_plus[i], _ = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaplus)) # Step 3
### END CODE HERE ###
# Compute J_minus[i]. Inputs: "parameters_values, epsilon". Output = "J_minus[i]".
### START CODE HERE ### (approx. 3 lines)
thetaminus = np.copy(parameters_values) # Step 1
thetaminus[i][0] = thetaminus[i][0] - epsilon # Step 2
J_minus[i], _ = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaminus)) # Step 3
### END CODE HERE ###
# Compute gradapprox[i]
### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
gradapprox[i] = (J_plus[i] - J_minus[i]) / (2.* epsilon)
### END CODE HERE ###
# Compare gradapprox to backward propagation gradients by computing difference.
### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox) # Step 1'
denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox) # Step 2'
difference = numerator / denominator # Step 3'
### END CODE HERE ###
if difference > 1e-7:
print ("\033[93m" + "There is a mistake in the backward propagation! difference = " + str(difference) + "\033[0m")
else:
print ("\033[92m" + "Your backward propagation works perfectly fine! difference = " + str(difference) + "\033[0m")
return difference
In [11]:
X, Y, parameters = gradient_check_n_test_case()
cost, cache = forward_propagation_n(X, Y, parameters)
gradients = backward_propagation_n(X, Y, cache)
difference = gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y)
There is a mistake in the backward propagation! difference = 0.2850931567761624
预期输出:
There is a mistake in the backward propagation! difference = 0.2850931567761624
看起来backward_propagation_n代码似乎有错误！很好，你已经实现了梯度检验。返回到backward_propagation并尝试查找/更正错误*（提示：检查dW2和db1）*。如果你已解决问题，请重新运行梯度检验。请记住，如果修改代码，则需要重新执行定义backward_propagation_n()的单元格。
你可以进行梯度检验来证明你的导数计算的正确吗？即使作业的这一部分没有评分，我们也强烈建议你尝试查找错误并重新运行梯度检验，直到确信实现了正确的反向传播。
注意
- 梯度检验很慢！用 ∂ J ∂ θ ≈ J ( θ + ε ) − J ( θ − ε ) 2 ε \frac{\partial J}{\partial \theta} \approx \frac{J(\theta + \varepsilon) - J(\theta - \varepsilon)}{2 \varepsilon} ∂θ∂J≈2εJ(θ+ε)−J(θ−ε)逼近梯度在计算上是很耗费资源的。因此，我们不会在训练期间的每次迭代中都进行梯度检验。只需检查几次梯度是否正确。
- 至少如我们介绍的那样，梯度检验不适用于dropout。通常，你将运行不带dropout的梯度检验算法以确保你的backprop是正确的，然后添加dropout。
Nice！现在你可以确信你用于欺诈检测的深度学习模型可以正常工作！甚至可以用它来说服你的CEO。
你在此笔记本中应记住的内容：
- 梯度检验可验证反向传播的梯度与梯度的数值近似值之间的接近度（使用正向传播进行计算）。
- 梯度检验很慢，因此我们不会在每次训练中都运行它。通常，你仅需确保其代码正确即可运行它，然后将其关闭并将backprop用于实际的学习过程。