VIX 指数构造详细证明过程

VIX 指数构造详细证明过程

VIX–CBOE发行的波动率指数，又称为恐慌指数，VIX指数高的时候，说明投资者预期后市市场波动比较大，因而可以作为投资者情绪的一种预期，一般来说，如果市场是有效的话，VIX指数和标的（SPX100）之间具有杠杆效应，也就是说，标的资产的价格下降，VIX飙升。VIX指数最新的构造方法借鉴于【1】构造variance swap的方法，又称静态复制法，这篇文章的主旨是记录shecan读文章时的推导思路，所以不过多介绍背景了，直接切入正题。

VIX指数构造证明过程主要有以下的三个部分：
$${\sigma }^2=\frac{2}{T}{\int }_0^T\frac{\text{dS}}{S}-\frac{2}{T}ln(\frac{S_T}{S_0})\text{\hspace{1em}(1*)}$$

$$\begin{gathered} E\left({\sigma }^2\right)=\frac{2}{T}\ln \left(\frac{F}{S^{\ast }}\right)-\frac{2}{T}\left[\frac{F}{S^{\ast }}-1\right] \\ +\frac{2}{T}[{\int }_{S_{\ast }}^{\infty }\frac{1}{K^2}{C}_T(K)dK+{\int }_0^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{P}_T(K)\text{dK}\text{\hspace{1em}(2*)} \end{gathered}$$

$$E({\sigma }^2)=\frac{2}{T}\sum _{i=1}^n\frac{\mathrm{\Delta }{K}_i}{K_i}{e}^{\text{rT}}Q\left(K_i\right)-\frac{1}{T}{[\frac{F}{K_0}-1]}^2\text{\hspace{1em}(3*)}$$

（1）根据股票过程和对数股票过程推导出波动率过程*：

假设股票过程是一个几何布朗运动，则根据伊藤引理，可以推导出对数股票过程满足的随机过程，
$$\{\begin{array}{c}\frac{\text{dS}}{S}=\mu dt+\sigma dz(1)\\ dlnS=\left(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)dt+\sigma dz(2)\end{array}$$
（1）-（2）得
$$\frac{1}{2}{\sigma }^{2}T=\int \frac{\text{dS}}{S}-dlnS\text{\hspace{1em}(3)}$$
对(3)两边求积分并化简即可得（1*）。

（2*）根据（1）构造静态复制表达式*：

首先，对(1*)两边求期望得，
$$E\left({\sigma }^2\right)=\frac{2}{T}\left(E\left({\int }_0^T\frac{\text{dS}}{S}\right)-E(ln(\frac{S_T}{S_0}))\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$
在风险中性条件下，$E\left({\int }_0^T\frac{\text{dS}}{S}\right)=ln(\frac{F}{S_0})$, 剩下求$E(ln(\frac{S_T}{S_0}))$:

其中其中$S_{\ast }$是静态复制时看涨期权和看跌期权的边界值，可以对$\ln \left(\frac{S_T}{S_0}\right)$做如下的分解
$$\ln \left(\frac{S_T}{S_0}\right)=\ln \left(\frac{S_T}{S_{\ast }}\right)+\ln \left(\frac{S_{\ast }}{S_0}\right)\text{\hspace{1em}(5)}$$

最后需要证明的即是
$$\ln \left(\frac{S_T}{S_{\ast }}\right)=\frac{S_T-S_{\ast }}{S_{\ast }}-{\int }_{S_{\ast }}^{\infty }\frac{1}{K^2}{(S_T-K)}^{+}dK-{\int }_0^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}\text{\hspace{1em}(6)}$$
下面给出两个证明

证明1 证明等式是否恒等

$$\begin{gathered} {\int }_0^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}={\int }_0^{S_T}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}+{\int }_{S_T}^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK} \\ =\{\begin{array}{c}0S_{\ast }<K\\ {\int }_{S_T}^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}{S}_{\ast }>K\end{array} \end{gathered}$$

同理，有下面的结论

$${\int }_{S_{\ast }}^{\infty }\frac{1}{K^2}{(S_T-K)}^{+}dK=\{\begin{array}{c}{\int }_{S_{\ast }}^{S_T}\frac{1}{K^2}{(S_T-K)}^{+}\text{dK}{S}_{\ast }<K\\ 0S_{\ast }>K\end{array}$$

假设

$$\{\begin{array}{c}P\left(K\right)={\left(K-S_T\right)}^{+}\\ C\left(K\right)={(S_T-K)}^{+}\end{array}$$

则由平价公式$S_T=C_T\left(K\right)-P_T\left(K\right)+K$，则

$$\ln \left(\frac{S_T}{S_{\ast }}\right)=\frac{S_T-S_{\ast }}{S_{\ast }}-{\int }_{S_{\ast }}^{\infty }\frac{1}{K^2}{(S_T-K)}^{+}dK-{\int }_0^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}$$

=$\frac{S_T-S_{\ast }}{S_{\ast }}-{\int }_{S_{\ast }}^{S_T}\frac{1}{K^2}{(S_T-K)}^{+}dK-{\int }_{S_T}^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}$

=$\frac{S_T-S_{\ast }}{S_{\ast }}-{\int }_{S_T}^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{[\left(K-S_T\right)}^{+}-{\left(S_T-K\right)}^{+}]dK$

=$\frac{S_T-S_{\ast }}{S_{\ast }}-{\int }_{S_T}^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}[S_T-K]dK$

=$\frac{S_T-S_{\ast }}{S_{\ast }}-\ln \left(\frac{S_T}{S_{\ast }}\right)-\frac{S_T}{S_{\ast }}+1$

=$\ln \left(\frac{S_{\ast }}{S_T}\right)$

证明2 更加一般的形式

这个形式来源于文档【2】，当时看的时候真的觉得特别牛逼，之后很多扩展都是基于这个形式扩展的，包括skew指数的构造，但是看了作者的证明（当然作者也是特别牛逼，心生敬畏，carr and madan, 上一次看见这个名字还是在学习快速傅里叶变换应用于期权定价），云里雾里，于是按着自己的理解重新写了一遍他们的证明过程，但是数学基础还是比较欠缺，希望有缘看到我这篇笔记的大牛们来帮我订正一下~

Carr和Madan认为任何连续的payoff都可以写成如下的形式，当然个人认为这个payoff还必须是光滑的，至少要保证二阶可导，这个表达式牛逼之处就在于，后面静态复制的部分包含了所有泰勒的高阶项~
$$f\left(S_T\right)=f\left(S_{\ast }\right)+f^{{}^{\prime }}\left(S_{\ast }\right)\left(S_T-S_{\ast }\right)+{\int }_a^{\infty }{f}^{{}^{\prime \prime }}\left(K\right){\left(S_T-K\right)}^{+}dK+{\int }_0^a{f}^{\prime \prime }(K){\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}\text{\hspace{1em}(NB)}$$
现在我们来看看（NB）表达式的证明过程

$$f\left(F\right)={\int }_0^{\infty }f\left(K\right)\delta \left(F-K\right)\text{dK}$$

=${\int }_0^{\overline{K}}f\left(K\right)\delta \left(F-K\right)\text{dK}+{\int }_{\overline{k}}^{\infty }f\left(K\right)\delta \left(F-K\right)\text{dK}$

=${\int }_0^{\overline{k}}f\left(K\right)\text{dI}\left(F<K\right)+{\int }_{\overline{k}}^{\infty }f\left(K\right)\text{dI}\left(F\ge K\right)$

=$\text{ f}\left(K\right)I\left(F<K\right){|}_0^{\overline{k}}-{\int }_0^{\overline{k}}f’\left(K\right)I\left(F<K\right)\text{dK}-f\left(K\right)I\left(F\ge K\right){|}_{\overline{k}}^{\infty }+{\int }_{\overline{k}}^{\infty }{f}^{\prime }\left(K\right)I\left(F\ge K\right)\text{dK}$

=$\text{ f}\left(\overline{k}\right)-{\int }_0^{\overline{k}}{f}^{{}^{\prime }}(K)d{\left(K-F\right)}^{+}+{\int }_{\overline{k}}^{\infty }{f}^{\prime }\left(K\right)d{\left(F-K\right)}^{+}$

=$\text{ f}\left(\overline{k}\right)-f^{{}^{\prime }}\left(K\right){\left(K-F\right)}^{+}{|}_0^{\overline{k}}+{\int }_0^{\overline{k}}{f}^{\prime \prime }\left(k\right){\left(K-F\right)}^{+}\text{dK}-f^{\prime }\left(K\right){\left(F-K\right)}^{+}{|}_{\overline{k}}^{\infty }+{\int }_{\overline{k}}^{\infty }{f}^{\prime \prime }\left(K\right){\left(F-K\right)}^{+}\text{dK}$

=$\text{ f}\left(\overline{k}\right)+f^{{}^{\prime }}\left(\overline{k}\right)\left[{\left(F-\overline{k}\right)}^{+}-{\left(\overline{k}-F\right)}^{+}\right]+{\int }_0^{\overline{k}}{f}^{\prime \prime }\left(K\right){\left(K-F\right)}^{+}dK+{\int }_{\overline{k}}^{\infty }{f}^{\prime \prime }\left(K\right){\left(F-K\right)}^{+}\text{dK}$

令$f\left(S_T\right)=\ln \left(\frac{S_{\ast }}{S_T}\right)-\frac{S_T}{S_{\ast }}+1$,则$f^{{}^{\prime \prime }}\left(S_T\right)=-\frac{1}{{S_T}^2}$,其中 $\bar{k}=S_{\ast }$

代入(NB)有:
$$\ln \left(\frac{S_T}{S_{\ast }}\right)-\frac{S_T}{S_{\ast }}+1=-{\int }_{S_{\ast }}^{\infty }\frac{1}{K^2}{(S_T-K)}^{+}dK-{\int }_0^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{\left(K-S_T\right)}^{+}\text{dK}$$
综合（4）（5）（6）（7）可得
$$\begin{gathered} E\left({\sigma }^2\right)=\frac{2}{T}\left(E\left({\int }_0^T\frac{\text{dS}}{S}\right)-E(ln(\frac{S_T}{S_0}))\right)= \\ \frac{2}{T}(ln(\frac{F}{S_{\ast }})-\frac{F-S_{\ast }}{S_{\ast }}+{\int }_{S_{\ast }}^{\infty }\frac{1}{K^2}{C}_T(K)dK+{\int }_0^{S_{\ast }}\frac{1}{K^2}{P}_T(K)\text{dK}) \end{gathered}$$
(3*) 即是对（2*）的离散过程，比较简单了，哪天心情好再更新！

【1】Demeterfi, K. , Derman, E. , Kamal, M. , & Zou, J. . (1999). More than you ever wanted to know about volatility swaps. Quantitative Strategies Research Notes Goldman Sachs.

【2】P Carr, & M Stanley. (1997). Towards a theory of volatility trading.