高等数学笔记-乐经良老师-第十一章-级数

高等数学笔记-乐经良老师

第十一章 级数

第一节 级数的概念和性质

一、级数的概念

01 无穷级数

设 $u_1,u_2,\dots ,u_n,\dots$​​ 是一个数列, 则和 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$​​​ 称为无穷级数（简称级数）.

02 项与通项

和式中的每一项称为级数的项，$u_n$​ 称为级数的通项（或一般项）.

03 前$n$​项部分和

而其中，$S_n=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$​ 称为级数的前$n$​项部分和.

04 级数收敛

若存在 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，且收敛于 $S$.

05 级数发散

若存在 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$​​ 不存在，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​ 发散​.​

06 级数的和与余和

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛于 $S$，则称 $S$ 为级数的和，记为 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S$​；

称 $r_n=\sum _{k-n+1}^{\infty }{u}_k=S-S_n$ 为级数的余和，且显然有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=0$.

二、级数的基本性质

• 线性性质

  若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​​ 收敛到 $S$​​​，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$​​​ 收敛到 $T$​​​ ，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\alpha u_n\pm \beta v_n\right)$​​​ 收敛到 $\alpha S+\beta T$ .​​​

• 将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散性。

• 若级数收敛于和 $S$，则将相邻若干项相加作一项而组成的新级数仍然收敛于 $S$.

三、级数收敛的必要条件

• 必要条件

  若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$（一般项是无穷小）

• 注意

  • $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\ne 0$​ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=\infty \text{(不存在)}$ $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 发散
  • $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=0$ 不一定导出 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛

第二节 正项级数的敛散性

一、正项级数

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 满足 $u_n\ge 0$​，则称之为正项级数 .

显然正项级数的部分和 $S_n$​ 单调增加，因此有：

$\text{正项级数}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛}\stackrel{\text{充分必要条件}}{<\overline{}>}\text{部分和}{S}_n\text{有界}$​​ .

二 、正项级数敛散性判别法

01 比较判别法

(1) 比较判别法

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 均为正项级数，且 $u_n\le v_n$，

则有 $$\begin{gathered} \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{收敛}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛.} \\ \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{发散.} \end{gathered}$$​

(2) 比较判别法的极限形式

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 均为正项级数，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$，

则有 $$\begin{gathered} \text{当}0<l<+\infty \text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{与}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{同敛散.} \\ \text{当}l=0\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{收敛}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛.} \\ \text{当}l=+\infty \text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{发散}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散.} \end{gathered}$$​ ​​

02 比值判别法

若正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=l$​，

则有 $$\begin{gathered} \text{当}0<l<1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛.} \\ \text{当}l=0\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散.} \end{gathered}$$

03 根植判别法

若正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=l$​​，

则有 $$\begin{gathered} \text{当}0\le l<1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛.} \\ \text{当}l>1\text{时，}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散.} \end{gathered}$$​

04 积分判别法

若非负函数 $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 时单调减少，

级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 的通项 $u_n=f(n)$​ ，

则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​ 与积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$​​​ 有相同的敛散性。

05 判别法小结

• 比值和根值判别法实际上可看作是在将级数与等比级数作比较，当所求极限存在时，可称级数是拟等比级数。
• 比较判别法是将一般性$u_n,v_n$ 作无穷小比较。通常我们取 $v_n$ 为 $\frac{1}{n^p}$，因此这时实际上我们在分析无穷小的阶。

第三节 任意项级数的收敛性

一、交错级数收敛性的判别

01 交错级数

各项正负相间的级数称为交错级数，其形式为 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$​​​ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$​​​ （其中 $u_n>0$​​​​）.

02 莱布尼兹判别法

若交错级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$​ （其中 $u_n>0$​）满足 $\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}\le u_n\\ \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0\end{array}$​​ ，

则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$​​ 收敛，且其余和的绝对值小于 $u_{n+1}$​，即 $\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }{u}_k\right|<u_{n+1}$​ .​​

二、绝对收敛与条件收敛

01 绝对收敛

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|u_n\right|$ 收敛，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 绝对收敛.

02 条件收敛

若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left|u_n\right|$ 发散, 而级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​ 条件收敛.

03 关于绝对收敛的命题

• 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|u_n\right|$ 收敛，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​ 收敛。
• 若级数绝对收敛，则级数收敛。

第四节 函数项级数

函数项级数及其敛散性

01 函数项级数

设 $u_n(x)(n=1,2,\cdots )$​ 是定义在数集 $X$​ 上的函数列，则称 $\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{u}_n(x)$​​ 为函数项级数.

02 收敛点

若 $\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{u}_n\left(x_0\right)$​ 收敛，称 $x_0$​ 是 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$​​​ 的一个收敛点.

03 发散点

若 $\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{u}_n\left(x_0\right)$​ 发散，称 $x_0$​ 是 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$​​​​ 的一个发散点.

04 收敛域

$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{u}_n(x)$​ 的全体收敛点组成的集合 $I$​​ 称为它的收敛域.

05 和函数

在收敛域的每个 $x$​ ，记 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$​ 称为 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$​​ 的和函数.

06 部分和(函数)

与数项级数类似，$S_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x)$ 称为 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$​ 的部分和(函数).

07 部分和函数与和函数

在收敛域有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=S(x)$​.

08 函数项级数的余和

将 $r_n(x)=\sum _{k=n+1}^{\infty }{u}_n(x)$​ 称为函数项级数的余和，显然 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n(x)=0$​ .​​

第五节 幂级数

一、幂级数及其收敛半径

幂级数和系数

形如 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{\left(x-x_0\right)}^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2{\left(x-x_0\right)}^2+\cdots$ 的函数项级数称为幂级数，

$a_1,a_2,\cdots$ 称为系数。

阿贝尔定理

若幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $x=x_0$ 收敛，则当 $|x|<\left|x_0\right|$，级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 绝对收敛；

若幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $x=x_0$ 发散，则当 $|x|>\left|x_0\right|$，级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 发散。

推论（幂级数收敛域的情况）

幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛仅有三种可能情况：

(1) 仅在 $x=0$ 收敛；

(2) 在以原点为中心的长度为 $2R$ 的区间 $(-R,R)$ 绝对收敛，而在 $|x|>R$ 发散；

(3) 在 $(-\infty ,+\infty )$ 收敛。

三种情况可看作是以原点为中心的区间，区间长度的一半称为收敛半径。

幂级数收敛半径的求法

(1) 比值法

对幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，若有
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho (\rho 可以是+\infty )$$
则其收敛半径 $R$：
$$\begin{array}{rl}& (1)\rho =+\infty \Rightarrow R=0\\ & (2)0<\rho <+\infty \Rightarrow R=\frac{1}{\rho }\\ & (3)\rho =0\Rightarrow R=+\infty \\ & 可简记为R=\frac{1}{\rho }\end{array}$$

(2) 根植法

对幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，若有
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\rho$$
则其收敛半径 $R$：
$$\begin{array}{rl}& (1)\rho =+\infty \Rightarrow R=0\\ & (2)0<\rho <+\infty \Rightarrow R=\frac{1}{\rho }\\ & (3)\rho =0\Rightarrow R=+\infty \\ & 可简记为R=\frac{1}{\rho }\end{array}$$

二、幂级数的分析性质

连续性

若幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$，则其和函数 $S(x)$ 在 $(-R,R)$ 连续；

若级数在收敛域的端点 $x=R$ (或 $-R$ ) 也收敛，则和函数 $S(x)$ 在 $x=R$ (或- $R$ ) 单侧连续。

可导性

若幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$，则其和函数 $S(x)$ 在 $(-R,R)$ 可导；且有：
$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(a_n{x}^n\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$$
而级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^n$ 的收敛半径仍为 $R$ 。

可积性

若幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$，则其和函数 $S(x)$ 在 $(-R,R)$ 内的任何区间可积；

且对 $\forall x\in (-R,R)$
$${\int }_0^{x}S(t)dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^{n}dt=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$$

三、泰勒级数

01 泰勒级数的概念

幂级数形式简单，运算方便，函数 $f(x)$ 能否由幂级数来表示？

回顾泰勒公式：
$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{\left(x-x_0\right)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+R_n(x)$$
如下所示幂级数称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数（$x_0=0$ 时称为麦克劳林级数）
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n$$

02 函数与它的泰勒公式

若函数 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的区域 $I$ 内有任意阶导数，则在区域 $I$ 满足：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n\stackrel{充分必要条件}{}\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0$$
说明 $f(x)$ 并非总是等于它的泰勒级数。

03 函数的幂级数形式惟一

$$若f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{\left(x-x_0\right)}^n，必有a_n=\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}$$

四、常用初等函数的幂级数

常用初等函数的幂级数
$$\begin{array}{rl}& (1)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}(-\infty <x<+\infty )\\ & (2)\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots (-\infty <x<+\infty )\\ & (3)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots (-\infty <x<+\infty )\\ & (4)\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots (-\infty <x<+\infty )\\ & (5)(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+\cdots (-\infty <x<+\infty )\end{array}$$
利用以上幂级数展开式可求其他一些初等函数的幂级数展开式。

五、幂级数的应用举例

01 近似计算

计算 $\pi$ 的近似值

02 计算积分

计算积分 ${\int }_0^1\frac{e^x-1}{x}dx$

03 利用幂级数推导欧拉公式

利用幂级数，可以推出欧拉公式
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
取 $x=\pi$，
$$e^{i\pi }=-1\Rightarrow e^{i\pi }+1=0(数学中最美的等式)$$

第六节 傅里叶级数

一、三角级数

01 三角级数的概念

形如 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$ 的级数称为三角级数，$a_0,a_n,b_n(n=1,2,\cdots )$ 称为系数。

三角级数各项组成的集合：$\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots ,\cos nx,\sin nx,\cdots \}$ 称为三角函数系。

02 三角函数系的特点

三角函数系的特点：正交性
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nxdx=\{\begin{array}{ll}0& m\ne n\\ \pi & m=n\end{array}\\ & (m,n=0,1,2,\cdots )\\ & \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nxdx=\{\begin{array}{ll}0& m\ne n\\ \pi & m=n\end{array}\\ & (m,n=1,2,\cdots )\\ & \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\cos nxdx=0\\ & (m=1,2,\cdots ;n=0,1,\cdots )\end{array}$$
设三角级数在 $[-\pi ,\pi ]$ 上收敛于函数 $f(x)$
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
级数系数与 $f(x)$ 有什么关系？

利用正交性，可得：
$$\begin{array}{rl}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,& n=0,1,2,\cdots \\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx,& n=1,2,\cdots \end{array}$$

二、傅里叶级数及其收敛条件

若 $f(x)$ 周期为 $2\pi$，在 $(-\pi ,\pi ]$ 可积，那么利用前面公式求得 $a_n,b_n$，就可写出一个三角级数，

称为的傅里叶级数 ( 傅氏级数 )，记为：
$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
注意，我们从 $f(x)$ 得到傅里叶级数，但这级数是否收敛？即使收敛，是否收敛到 $f(x)$ ？

狄利克雷收敛定理：

设 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 至多有有限个第一类间断点 且仅有有限个极值点，那么 $f(x)$ 的Fourier级数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
在 $[-\pi ,\pi ]$ 收敛，它的和函数：
$$S(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& \text{ 当 }x\text{ 为 }f\text{ 的连续点 }\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},& \text{ 当 }x\text{ 为 }f\text{ 的间断点 }\\ \frac{f(\pi -0)+f(-\pi +0)}{2},& \text{ 当 }x=\pm \pi \end{array}$$

三、正弦级数和余弦级数

若 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 是奇函数，则它的傅里叶级数的系数 $a_n=0$，从而
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx\left(b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx\right)$$
若 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 是偶函数，则 $b_n=0$ ，从而
$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx\left(a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nxdx\right)$$
定义在 $[0,\pi ]$ 上符合展开条件的函数 $f(x)$ 可以看作 $[-\pi ,\pi ]$ 上的奇函数或偶函数，

然后展开为正弦级数或余弦级数。

四、周期为 $2l$ 的傅里叶级数

设 $f(x)$ 是定义在 $[-l,l]$ 上的可积函数, 通过 $x=\frac{l}{\pi }t$, 得到 $F(t)=f\left(\frac{l}{\pi }t\right)$ 为 $[-\pi ,\pi ]$ 上可积函数 就有
$$F(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nt+b_n\sin nt\right)$$
导出
$$\begin{array}{rl}& f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)\\ & \{\begin{array}{ll}{a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi }{l}xdx,& n=0,1,2,\cdots \\ b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi }{l}xdx,& n=1,2,\cdots \end{array}\end{array}$$
若 $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上满足狄利克雷收敛条件，则傅里叶级数 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$ 收敛到
$$S(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& x\text{ 是 }f\text{ 的连续点 }\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}& x\text{ 是 }f\text{ 的间断点 }\\ \frac{f(-l+0)+f(l+0)}{2}& x=\pm l\end{array}$$