高等数学：第十一章 无穷级数（3）正弦级数、余弦级数、周期为2L的周期函数的傅里叶级数

§11.9  正弦级数和余弦级数

一、奇函数偶函数的傅立叶级数

一般说来，一个函数的傅立叶级数既含有正弦项，又含有余弦项。但是，有些函数的傅立叶级数只含有正弦项或只含有余弦项，究其原因，它与所给函数的奇偶性有关。

【定理】以为周期的奇函数展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数适合：

而以为周期的偶函数展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数适合：

证 设是以为周期的偶函数，则，从而

又因是上的奇函数，故

类似地可证明定理的第二部分。

该定理告诉我们：

1、如果为奇函数，那么它的傅立叶级数是只含有正弦项，不含常数项和余弦项的正弦级数

2、如果为偶函数，那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项，不含正弦项的余弦级数

【例1】设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将它展开成傅立叶级数。

解：函数的图形如下：

是周期为的奇函数，因此

在点  不连续，据收敛定理，的傅立叶展开式为

二、函数展开成正弦级数或余弦级数

如果仅给出函数在上的定义，如何将它展开成正弦级数或余弦级数呢？

解决该问题的具体步骤如下：

1、在上重新定义新函数，且在上成为奇函数（或偶函数），这种定义的方式称为是对的奇延拓（或偶延拓）。

2、将以为周期进行周期延拓，所得函数的傅立叶展开式必为正弦级数（或余弦级数）。

3、据的傅立叶展开式的成立区间，限制属于、、中的某一个，此时，这样便得到了的正弦级数（或余弦级数）。

【例2】将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。

解：对进行奇延拓，得函数

其傅立叶系数如下：

傅立叶级数为  ，据收敛定理有：

在处，它收敛于；

在处，它收敛于

；

在内，它收敛于。

故的傅立叶正弦级数展开式为

对进行偶延拓，可得函数

其傅立叶系数为

傅立叶级数为  ， 据收敛定理有：

在处，它收敛于

；

在内，它收敛于。

故的傅立叶余弦级数展开式为

§11.10  周期为2L的周期函数的傅里叶级数

对于周期为的周期函数的傅立叶级数展开，根据已有的结论，借助变量替换，可得到下面定理。

【定理】设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为

其中系数的计算式为

如果为奇函数，则有

其中系数  

如果为偶函数，则有

其中系数  

证：作变量替换，当时，，函数可重新表示成，从而是周期为的周期函数且满足收敛定理的条件，因此，可以展开成为傅立叶级数

其傅立叶系数的计算表达式为

由于，，上式可分别改写成

类似地，可以证明定理的其余部分。

【例1】设是周期为的周期函数，它在上的表达式为

将它展开成傅立叶级数。

解：的图象如下：

其傅立叶系数为

据收敛定理，有

因此，的傅立叶展开式为

这里，

【例2】将函数展开成正弦级数和余弦级数。

解：将作奇延拓，得到函数，且

再将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

由于函数在处间断，故的正弦级数展开式为

这里：  

再将作偶延拓，得到函数，且

将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

由于函数在上连续，故的余弦级数展开式为

这里：  

如果令，得

对定义在任意区间上的函数，若它满足收敛定理所要求的条件，也可将它展开成傅立叶级数，其方法如下：

作变量替换 ，即 ，

当时，，将函数改写成

则是定义在上，且满足收敛定理条件的函数，从而可将其展开成傅立叶级数。

【例3】将函数展开成傅立叶级数。

解：作变量替换  ，当时，则 ，而

将以为周期进行周期延拓，可得到一个周期函数，其图象如下：

其傅立叶系数为

显然，点是函数的间断点，函数在其它点均连续，故的傅立叶展开式为

将代入上式，得

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/}