MATLAB拟合算法

与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线)，使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好(最小化损失函数)。

插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。(拟合的结果是得到一个确定的曲线)

先给出一组例子：

clear;clc;
x = 0.1:0.1:1;
y = [1.978,2.45,3.28,6.16,7.34,7.66,9.58,9.48,9.3,11.2];
plot(x,y,'o')
xlabel('x的值');
ylabel('y的值');

设这些样本点为(xi,yi)，i=1,2，…,n,我们可以设置拟合曲线为y = k*x＋b

利用最小二乘法:

n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x).*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x).*sum(x))
hold on 
grid on 
f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[0,1]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')
hold off 

利用一元线性函数，得到拟合出来的图像 ：

得出结果后，如何知道自己拟合数据图形的好坏呢？

这里需要用到拟合优度R²，与R²有关的三个系数SSR、SSE、SST:

可以证明：SST = SSE + SSR 

 R² =SSR/SST(R²越接近1，说明误差平方和越接近0，误差越小说明拟合的越好。注意:R2只能用于拟合函数是线性函数时，拟合结果的评价，线性函数和其他函数（例如复杂的指数函数〉比较拟合的好坏，直接看SSE即可，假如R2是个负数，说明拟合效果不好)

（我们这里说的线性函数是指对参数为线性(线性于参数)。）

因此引入一个概念：

1、对变量为线性

对线性的第一种并且也许是更“自然”的一种解释是，￥的条件期望值是X;的线性函数。从几何意义上说，这时回归曲线是一条直线。按照这种解释，诸如 E(Y|X)=β1+β2*X²的回归函数，由于变量X以幂或指数⒉出现，就不是线性的。

2、对参数为线性

对线性的第二种解释是，Y的条件期望E(Y│X)是参数β的一个线性函数;它可以是或不是变量X的线性函数。2对于这种解释，E(Y |X)=β1＋β2*X²就是一个线性(于参数〉回归模型。为了看出这-一点，让我们假设X取值为3。因此，E(Y |X=3)=β1＋9β2，显然它是β和的线性函数。

计算拟合优度的代码：

y_hat = k *x+b;                     % y的拟合值
SSR = sum ( (y _hat-mean (y) ) .^2) %回归平方和
SSE = sum( (y _hat-y).^2)           %误差平方和
SST = sum ( (y-mean(y) ).^2)        %总体平方和
R_2 = SSR / SST

以上是利用最小二乘法的思想对数据进行拟合，matlab中也有自带的“拟合工具箱”：cftool

进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”
（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；
（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；
（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：

Custom Equations：用户自定义的函数类型
Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；
——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a*x*x + b*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。

（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：

general model:
f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)
b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit:
SSE: 6.146
R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997
RMSE: 0.8263

同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。

这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4）~（5）进行一次新的拟合。
不过，需要注意的是，cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。、

如果在正式数模比赛中，利用拟合工具箱拟合出来的曲线，可以通过以下步骤将拟合出曲线的代码导出：Curve Fitting Tool ->文件 ->Generate Code ->再使用保存快捷键Ctrl+S即可