01概率论与数理统计笔记——随机事件与概率

一、随机事件

随机事件的关系与运算

1. $A\subset B$：事件$A$发生一定导致事件$B$发生。
2. $A\cap B$：积事件，当且仅当$A$和$B$同时发生，事件$AB$发生。
3. $A\cup B$：和事件，当且仅当$A$，$B$中至少有一个发生，事件$A\bigcup B$发生。
4. $A-B$：差事件，当且仅当$A$发生，$B$不发生时，事件$A-B$发生。
5. $A\cap B=\varnothing$：互斥（互不相容）事件，事件$A$和$B$不能同时发生。
6. $A\cup B=S$：互逆（对立）事件，$A$的对立事件记为$\bar{A}$

• 事件的差：$A-B=A-AB=A\bar{B}$
• 对立事件：$A\bar{A}=\varnothing$，$A\cup \bar{A}=\varnothing$

随机事件的运算律

• 求和运算

  1. 交换律：$A+B=B+A$
  2. 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

• 求交运算
  1.交换律：$AB=BA$

  2. 结合律：$(AB)C=A(BC)$

• 混合运算

  1. 第一分配率：$A(B+C)=(AB)+(AC)$
  2. 第二分配率：$A+(B+C)=(A+B)(A+C)$

• 德摩根定律
  $${\left(\bigcup _n{S}_n\right)}^c=\bigcap _n{S}_n^c$$

  $${\left(\bigcap _n{S}_n\right)}^c=\bigcup _n{S}_n^c$$

• 对立运算

  1. $\overline{(\overline{A})}=A$（自反律）
  2. $\overline{A+B}=\overline{A}\overline{B}$（第一对偶率）
  3. $\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$（第二对偶律）

二、概率模型

概率律

概率公理

1. **非负性：**对于一切事件$A$，满足$\mathrm{P}(A)⩾0$；

2. **可加性：**设$A$和$B$为两个互不相交的集合，则它们的并满足：
   $$\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$$
   更一般的，若$A_1,A_2,\dots ,$是互不相容的事件序列，则它们的并满足：
   $$\mathrm{P}(A_1\cup A_2\cup \dots )=\mathrm{P}(A_1)+\mathrm{P}(A_2)+\dots$$

3. 归一化：整个样本空间$\Omega$（称为必然事件）的概率为1，即$\mathrm{P}(\Omega )=1$；

概率性质

1. $\mathrm{P}(\varnothing )=0$
2. $\mathrm{P}(\overline{A})=1-\mathrm{P}(A)$
3. $\mathrm{P}(A-B)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(B)$
4. $0⩽\mathrm{P}(A)⩽1$
5. $\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A+B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-(AB)$
   推论：$\mathrm{P}(A\cup B\cup C)=\mathrm{P}(A+B+C)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)-\mathrm{P}(AB)-\mathrm{P}(AC)-\mathrm{P}(BC)+\mathrm{P}(ABC)$

古典概型与几何概型

古典概型

有限性：样本空间中样本点有限

等可能性：每个样本点发生的概率相同

古典概型

1. 计算公式：$\mathrm{P}(A)=\frac{n}{m}=\frac{A\text{包含的基本事件数}}{\text{样本空间中的基本事件总数}}$
2. 排列组合：

• $A_n^m=n(n-1)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$
• $C_N^n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)=\frac{N!}{n!(N-n)!}$
• $C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{A^m}{m!}=C_n^{n-m}$

几何概型

无限性：样本空间中样本点无限且构成一个几何区域

等可能性：每个样本点发生的概率相同

几何概型

1. 计算公式：$\mathrm{P}(A)=\frac{L(A)}{L(\Omega )}$，$L(A)$和$L(\Omega )$分别表示$A$和$\Omega$的几何测度，其中测度为长度或面积。

条件概率

1. 定义

• 定义：在事件$A$已发生的条件下，事件$B$发生的概率
• $\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(A)}$且$\mathrm{P}(A)>0$
• $\mathrm{P}(\bar{B}|A)=1-\mathrm{P}(B|A)$
• $\mathrm{P}(B|\bar{A})=1-\mathrm{P}(\bar{B}|\bar{A})$

2. 性质：
   • 非负性：$\mathrm{P}(B|A)⩾0$
   • 规范性：$\mathrm{P}(S|A)=1$
   • 可列可加性：对于任意可数的两两不相容的事件$A_1,A_2,...,A_i$，有$\mathrm{P}\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i|A\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }\mathrm{P}\left(A_i|A\right)$
3. 乘法公式

• $\mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A),\mathrm{P}(A)>0$
• $\mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A|B),\mathrm{P}(B)>0$
• $\mathrm{P}(ABC)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A)\mathrm{P}(C|AB)$
• $\mathrm{P}(A_1{A}_2\cdots A_n)=\mathrm{P}(A_1)\mathrm{P}(A_2|A_1)\mathrm{P}(A_3|A_1{A}_2)\cdots \mathrm{P}(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$

全概率公式与贝叶斯公式

1. 全概率公式
   • 定理：设试验$E$的样本空间为S，$A$为$E$的事件﹐$B_1,B_2,...,B_n$为S的一个划分,且$\mathrm{P}(B_i)>0,(i=1,2,...,n)$，则$$\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A|B_1)\mathrm{P}(B_1)+\mathrm{P}(A|B_2)\mathrm{P}(B_{2)}+\cdots +\mathrm{P}(A|B_n)\mathrm{P}(B_{n)}$$
   • 全概率公式：$\mathrm{P}(A)={\sum }_{k=1}^n\mathrm{P}(B_k)\cdot \mathrm{P}(A|B_k)$
2. 贝叶斯公式：$\mathrm{P}(B_i|A)=\frac{\mathrm{P}(A|B_i\mathrm{P}(B_i)}{\sum \mathrm{P}(A|B_j)\mathrm{P}(B_j)}=\frac{\mathrm{P}(A{B}_i)}{\mathrm{P}(A)},o=1,2,\cdots ,n$
3. 常用公式：
   • $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A|B)\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A|\bar{B})\mathrm{P}(\bar{B})$
   • $\mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\mathrm{P}(A|B)\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(AB)\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A|\bar{B})\mathrm{P}(\bar{B})}$

三、事件的独立性与独立重复实验

事件独立性

1. 两个事件的独立：$\mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$

2. 有限个事件的独立性

• 两两独立：$\mathrm{P}\left(A_i{A}_j\right)=\mathrm{P}\left(A_i\right)\mathrm{P}\left(A_j\right)$
• 相互独立：$\mathrm{P}\left(A_1{A}_2,\dots .A_n\right)=\mathrm{P}\left(A_1\right)\mathrm{P}\left(A_2\right)\dots \mathrm{P}\left(A_n\right)$

3. 性质

• 设A，B是两事件，且$\mathrm{P}(A)>0$，若A，B相互独立，则$\mathrm{P}(B|A)=\mathrm{P}(B)$，反之亦然

• 概率为0的事件以及概率为1的事件与任意一个事件相互独立

• 若事件A和B相互独立，则下列各事件也相互独立：$A$与$\bar{B}$，$\bar{A}$与$B$，$\bar{A}$与$\bar{B}$

• 设A，B，C是三个事件，若满足等式，则称事件A，B，C相互独立：
  $$\begin{array}{c}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$

4. 条件独立：$\mathrm{P}(A\bigcap B|C)=\mathrm{P}(A|C)\mathrm{P}(B|C)$

独立重复实验和伯努利概型

1. 伯努利定理:在一次试验中，事件A发生的概率为$p(0<p<1)$，则在$n$重伯努利试验中，事件A恰好发生$k$次的概率为：$b(k;n,p)=c_n^k{p}^k{q}^{n-k}$ ，其中$q=1-p$。
2. 在伯努利实验序列中，设每次实验中事件A发生的概率为$p$ ，“事件A在第$k$次试验中才首次发生”$\left(k⩾1\right)$，这一事件的概率为$g(k,p)=q^{k-1}p$