【线性代数】第三章：向量空间

3.1 向量及其线性运算

1. 向量、行向量、列向量、实向量、列向量：将m个数$a_1,a_2,\cdots ,a_m$按一定顺序排列得到的数列称为m维向量，表示为$(a_1,a_2,\cdots ,a_m)或(a_1,a_2,\cdots ,a_m{)}^T$。其中$a_i$称为该向量的第 i 个分量或坐标。$(a_1,a_2,\cdots ,a_m)和(a_1,a_2,\cdots ,a_m{)}^T$分别称为行向量和列向量。因此矩阵$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$可以得到m个行向量和n个列向量。每个分量均为实数的向量为实向量，每个分量均为复数的向量为复向量。

2. 向量的线性运算：

   1. 向量的加法运算：对于两个m维向量$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_m)和\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_m)，则\alpha +\beta =(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_m+b_m)$

   2. 向量加法运算性质：

      1. $\alpha +\beta =\beta +\alpha$（加法交换律）
      2. $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$（加法结合律）
      3. $\alpha +0=\alpha$（加法单位元）
      4. $\alpha +(-\alpha )=0$（加法逆元）

   3. 向量的数乘运算：对于m维向量$\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_m)和数\lambda ,则\lambda \alpha =(\lambda a_1,\lambda a_2,\cdots ,\lambda a_m)$

   4. 向量的数乘运算性质：

      

3.2 向量组的线性相关性

1. 向量组：向量组是由若干个（有限、无限均可）维数相同的向量构成的集合$\{a_i|i\in I\}$，它通常是一个非空的集合
2. 共线和不共线：对于两个向量$\alpha 和\beta$，若存在实数k，使得$\beta =k\alpha$，则称$\alpha 和\beta$共线，否则不共线。
3. 线性组合，线性表示：设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是向量组，对于向量$\beta$，若存在常数$k_1,k_2,\cdots ,k_n$使得$\beta =k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_n{a}_n$，则称$\beta 是向量组a_1,a_2,\cdots ,a_n$的线性组合，或称$\beta 可由向量组a_1,a_2,\cdots ,a_n$线性表示
4. 向量组的线性相关和线性无关：
   1. 设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是向量组，若存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots ,k_n$，使得$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_n{a}_n=0$，则称$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是线性相关的。可以看出，$a_1,a_2,\cdots ,a_n$线性相关的充要条件是矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)的秩R(A)<n$，或者说向量组必有一个向量可由其他向量线性表示
   2. 设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是向量组，若存在一组数$k_1,k_2,\cdots ,k_n$，使得$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_n{a}_n=0$当且仅当$k_1,k_2,\cdots ,k_n$全部为0，则称$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是线性无关的。可以看出，$a_1,a_2,\cdots ,a_n$线性无关的充要条件是矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)的秩R(A)=n$

3.3 向量组的极大无关组

1. 向量组的等价：设A和B是两个向量组，若向量组B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示。若A和B可相互表示，则称向量组A和向量组B等价。可以得到，向量组B可由A线性表示的充要条件是$R(A)=R(A,B)$，且可以得到$R(B)\le R(A)$；两个向量组的等价的充要条件是$R(A)=R(B)=R(A,B)$
2. 向量组的极大无关组：给定向量组A，若存在部分组B，满足向量组B线性无关且任意真包含B的部分组都是线性相关的，那么称B是A的极大线性无关组，简称极大无关组。向量组和其极大无关组是等价的。等价向量组的极大无关组所含的向量个数相同。向量组的极大无关组所含的向量个数就是向量组的秩。
3. 向量组的极大无关组的求法：将向量组写成矩阵形式，利用高斯消元法将矩阵化简成行最简形矩阵，阶梯线的首元所在列的列向量就是极大无关组的向量。

3.4 向量空间

1. 向量空间：设V是向量组，若V满足两个条件（加法封闭和数乘封闭），那么V称为向量空间

   1. 加法封闭：任意$\alpha ,\beta \in V,有\alpha +\beta \in V$
   2. 数乘封闭：任意$\alpha \in V$，任意$\lambda \in R$，有$\lambda \alpha \in V$

2. 向量空间的基与坐标：向量空间V的极大线性无关组称为是向量空间的基，极大线性无关组中所含的向量个数就是V的维数，记为$dim(V)$；设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是V的一个基，对于任意的$\alpha \in V$，如果$\alpha =x_1{a}_1+x_2{a}_2+\cdots +x_n{a}_n$，则称$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是向量$\alpha$在基$a_1,a_2,\cdots ,a_n$下的坐标。注意向量空间V的基是不唯一的。

3. 过渡矩阵及坐标变换公式：

   
   

3.5 线性方程组的结构解

1. 齐次线性方程组的结构解：设S是n元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$的所有解向量组成的集合，即$S=\{x|A_{m\times n}x=0\}$，则称S是向量空间，是$Ax=0$的解空间。

   1. 若$A{\xi }_1=0且A{\xi }_2=0,则A({\xi }_1+{\xi }_2)=0$
   2. 若$A\xi =0,则对于任意数\lambda \in R,有A(\lambda \xi )=0$

   从上述性质可以看出，只需要找到解空间S的基，由这组基生成的向量空间即为通解，也就是结构解。

2. 设S是n元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$的解空间，若$R(A)=r$，则$dim(S)=n-r$。换言之，n元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$的基础解系中含解向量的个数为n-r。

3. 求解齐次线性方程组的结构解的方法：

   1. 将系数矩阵化成行最简形矩阵
   2. 确定出n-r个自由未知量
   3. 得出n-r个线性无关的向量，从而写出n-r个线性无关的解向量
   4. 最后根据解向量写出结构解

4. 矩阵的秩不等式：

   

5. 伴随矩阵的秩：

   
   

6. 非齐次线性方程组的结构解：非齐次和齐次的区别就是方程组的右边不全为0，求解非齐次线性方程组等价于求一个特解加上齐次线性方程组的通解。

3.6 线性空间与线性空间

1. 线性空间：设V是非空集合，在V上定义了两个元素$\alpha 和\beta$的封闭的加法运算，以及一个元素$\alpha 和一个数\lambda$的数乘运算，且满足

   

2. 向量空间一定是线性空间，因为向量空间满足加法封闭和数乘封闭，因此显然满足1-8的条件。

3. 线性空间的极大无关组称为线性空间的基，极大无关组的中的元素个数称为线性空间的维数。

4. 变换和线性变换：对于任意集合V，将V到V的映射称为V上的变换。如果V是线性空间，将保持其线性运算的变换称为线性变换。

   

5. 线性变换的种类：旋转变换、缩放变换、……；注意平移变换不是线性变换。