PCA降维

一、主成分分析

1、动机：多个变量之间往往存在一定的相关性，可以通过线性组合的方式从中提取信息。

2、主成分分析：将原始的n维数据投影到低维空间，并尽可能的保留更多的信息。

---投影后方差最大

---最小化重构误差

从而达到降维的目的：使用较少的主成分得到较多的信息。

二、图像解释

比如我们想把二维数据降维到一维，那么我们要去找到一条线使得投影后方差最大，如二图中的直线，然后我们把二维的点都投影到这条线上，此时线上的投影点既是我们降维后得到的数据，那么我们该如何实现这个操作？

 三、底层算法

1、原理

2、案例

3、代码实现

def pca(X,k):
    m_samples , n_features = X.shape
    #中心化  去均值  均值为0
    mean = np.mean(X,axis=0)
    normX = X - mean  #去均值，中心化
    cov_mat = np.dot(np.transpose(normX),normX) #协方差矩阵
    #对二维数组的transpose操作就是对原数组的转置操作  矩阵相乘
    vals , vecs = np.linalg.eig(cov_mat) #得到特征向量和特征值
    print('特征值',vals)
    print('特征向量',vecs)
    eig_pairs = [(np.abs(vals[i]),vecs[:,i]) for i in range(n_features)]
    print(eig_pairs)
    print('-------------')
    #将特征值由大到小排列
    eig_pairs.sort(reverse=True)
    print(eig_pairs)
    print('-------------')
    feature = np.array(eig_pairs[0][k])
    print(feature)
    #将数据进行还原操作 normX 中心化后的数据 和 特征向量相乘
    data = np.dot(normX,np.transpose(feature))
    return data

X = np.array([[-1,1],[-2,-1],[-3,-2],[1,1],[2,1],[3,2]])
data = pca(X,1)
print(data)

4、在sklearn中调用

from sklearn.decomposition import PCA
p = PCA(n_components=1)
a = p.fit_transform(X)
print(a)

 四、PCA算法总结

        作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如非线性降维的KPCA,还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA,以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。
PCA算法的主要优点有:
（1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
（2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
（3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

PCA算法的主要缺点有:
（1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性， 不如原始样本特征的解释性强。

（2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据
处理有影响。