arctanx麦克劳林公式推导过程_【数学】「专题」初识泰勒级数（Taylor Series）与泰勒公式（Taylor's Formula）...

注：本文提到的任何方法，在高中范围内，使用前均需简证，以免失分！

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索引（Index）

一、泰勒级数（Taylor Series）

• 泰勒级数（Taylor Series）的定义
• 泰勒级数的相关定理

二、泰勒公式（Taylor's Formula）

• 泰勒公式（Taylor's Formula）的公式形式
• 泰勒公式中的余项
• 常用函数的泰勒公式（含佩亚诺余项）
• 麦克劳林公式（Maclaurin's Series）
• 应用举例
• 泰勒公式（Taylor's Formula）的推导（摘自百度百科）

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一、泰勒级数（Taylor Series）

1.1 泰勒级数（Taylor Series）的定义

如果

在

具有任意阶导数，则幂级数：

称为

在

处的泰勒级数。

在泰勒公式中，取

，得到的级数

称为麦克劳林级数。函数

的麦克劳林级数是

的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与

的麦克劳林级数一致。

注意：如果

的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于

。因此，如果

在某处有各阶导数，则

的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于

还需进一步验证。

一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一个奇点。但是如果变量

是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如：

，就可以被展开为一个洛朗级数。

1.2 泰勒级数的相关定理

下面给出两个泰勒级数的定理。

定理一：

设函数

在

的某个邻域

内具有任意阶导数，则函数

在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项

满足：

定理二：

如果

在区间

能展开成泰勒级数

，则右端的幂级数是惟一的。

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二、泰勒公式（Taylor's Formula）

2.1 泰勒公式（Taylor's Formula）的公式形式

若函数

在包含

的某个闭区间

上具有

阶导函数，且在开区间

上具有

阶导数，则对闭区间

上任意一点

，成立下式：

展开可得：

2.2 泰勒公式中的余项

泰勒公式中的余项

可以写成以下几种不同的形式：

2.2.1 佩亚诺（Peano）余项

这里只需

阶导数存在。

2.2.2 施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项

其中

。（注意到

与

分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

2.2.3 拉格朗日（Lagrange）余项

其中

。

2.2.4 柯西（Cauchy）余项

其中

。

2.2.5 积分余项

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

2.3 常用函数的泰勒公式（含佩亚诺余项）

2.4 麦克劳林公式（Maclaurin's Series）

若

在

处

阶连续可导，则下式成立：

麦克劳林公式是泰勒公式在

，记

的一种特殊形式。

2.5 应用举例

• 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
• 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。
• 泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
• 证明不等式。
• 求待定式的极限。

2.6 泰勒公式（Taylor's Formula）的推导（摘自百度百科）

我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

于是：

其中误差

是在

即

的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确。于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

来近似地表示函数

且要写出其误差

的具体表达式。

设函数

满足：

于是可以依次求出

，显然有：

至此，多项的各项系数都已求出，得：

以上就是函数的泰勒展开式。