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高阶数据结构 —— AVL树(平衡搜索树)
文章目录
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- 1. AVL树的概念
- 2. 旋转 —— 乾坤大挪移
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- 2.1 左单旋
- 2.2 右单旋
- 2.3 右左双旋
- 2.4 左右双旋
- 2.5 对旋转的总结
- 3. AVL树的实现
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- 3.1 AVL树的 节点
- 3.2 AVL树的私有成员以及构造
- 3.3 AVL树的插入
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- 3.3.1 左单旋代码实现
- 3.3.2 右单旋代码实现
- 3.3.3 右左双旋代码实现
- 3.3.4 左右双旋代码实现
- 3.4 AVL树的中序遍历
- 3.5 AVL树 验证 平衡
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- 3.5.1 控制双旋的平衡因子
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- 3.5.1.1 右左双旋
- 3.5.1.2 左右双旋
- 4. AVL树 代码汇总
- 5.结尾
前言： 普通的二叉搜索树无法保证平衡，也就是 如果有序的插入数据，会导致此二叉搜索树退化为单支，效率会打折扣，所以 有了AVL树，它是可以保证 树的平衡，对于平衡的概念后面会讲，它是怎么保证平衡的？都会讲到，并且 我们要模拟实现 AVL树。
1. AVL树的概念
AVL树就是 可以 绝对保证 平衡的 搜索树，怎么才算平衡呢？
- 平衡：左右子树的高度差 不超过 1。
- AVL树的左右子树都是 AVL树
如何控制 平衡呢？我这里实现用的是平衡因子。也就是说 每个节点都有平衡因子。
平衡因子规则：
- 每个节点 默认的平衡因子为 0
- 节点的平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
这就能控制平衡了？当然不能，平衡因子是用于 判断 需不需要旋转 的依据。对，是通过旋转来控制平衡的。旋转有 左单旋，右单旋 ，左右双旋，右左双旋转。听起来复杂，没事 会 理清楚的。
插入节点 平衡因子更新规则：
- 新的节点A 插入到 节点B的右边，那么B的平衡因子+ 1
- 新的节点A 插入到 节点B的左边，那么A的平衡因子 - 1
- 插入节点 会 影响 此条路径上的所有祖先
- 插入节点 后，祖先的平衡因子 可能出现 5 种情况：
(1) 祖先的平衡因子变为 0，说明 它原来的平衡因子是 -1 \ 1 。-1 -> 0，说明是插入到它的右边， 1 -> 0， 说明插入到了它的左边；这个时候 就不需要 往上继续更新了，因为 它不可影响到 其他祖先，它很平衡。
(2) 祖先的平衡因子变为 1，-1 。说明 它原来的平衡因子 是 0。0 -> -1，说明是插入到它的左边，0 -> 1，说明是插入到它的右边；这个时候 需不需要 往上更新，需要的，因为 它 影响了 其他祖先。更新到 没有祖先 或者 祖先的平衡因子为 0，就不往上更新了。
(3)祖先的平衡因子变为 2/ -2 ，说明 它原来的平衡因子是 1 \ -1。1 -> 2，说明是插入到它的右边。-1 -> -2，说明是插入到它的左边。这个时候就出问题了，因为不平衡了，高度差 超过 1了，所以 要旋转。
2. 旋转 —— 乾坤大挪移
2.1 左单旋
- 先看这颗抽象树：
a，b，c 都是 子树，h代表树的高度， 3 和 6 的平衡因子给出了已经，就是 右子树高度 - 左子树高度。
那么我有个问题：在哪里插入一个节点会 引发 左单旋 ？
- 首先，在 a 子树 下插入 会 导致 左单旋吗？肯定不会，因为 在 a 下插入节点 会导致 3 节点的平衡因子 变为 0。
- 然后，在 b 子树 下插入，6 节点 的平衡因子 变为 -1，3 节点 受影响吗？肯定受影响，3 节点的平衡因子 变为 2。但是需要注意 这不是 左单旋转可以解决的，因为 插入的节点 对于 6 来说 是插入在了它的左边，它的平衡因子减去 1，对于 3 来说 是它的右树 新增了 一个节点 它的平衡因子 加 1。先不讲 这个情况。
- 最后是 在 c子树 下插入，6 节点 的平衡因子 变为 1，3 节点的平衡因子 变为 2。这就需要左单旋转。
所以 左单旋 的平衡因子条件：
- 出问题的节点 平衡因子 为 2，它的右子树平衡因子为 1。
- 出问题的节点 右子树 比 左子树 高，所以 要让 此树 的 左子树 高度 +1 。
口诀： 右边单纯高，左单旋
- 将出问题的节点 (3节点)往下压 ，它的
右子树(6节点) 变为 它原来的右子树(6节点)的左子树(b子树)。 - 出问题的节点(3节点)，变为 它的原来的右子树(6节点) 的左子树。
图解：
就这样 完成 左单旋，但是有人会问：你怎么知道？上面的 6节点的 左子树可以 做3节点的 右子树？还有 3节点 可以作为 6节点的 左子树。
这就是 二叉搜索树呀。
- 第一个问题：6节点的 左子树节点 绝对比 3节点 要大，因为 插入 的时候 比 3 大插入到它的右子树，所以 3节点 的右子树 中所有的节点 都是要大于 3节点的。
- 第二个问题：6节点是 3节点的右子树，所以 3节点 小于 6节点，所以 3节点可以作为 6节点 的 左子树。
总结： 右边单纯高，左单旋，本质就是 这颗树整体的高度 减一，去弥补 左子树。再直白点就是 让出问题的节点 下去，填补左子树，从而达到平衡。
2.2 右单旋
其实 就是 上面的例子反一下，不会讲的很细。但是 逻辑还在。
在 a子树下插入 会导致 右单旋转：
很明显，6节点 的平衡因子为 -2，需要旋转。
所以 右单旋 的平衡因子条件：
- 出问题的节点 平衡因子 为 -2，它的左子树平衡因子为 -1。
- 出问题的节点 左子树 比 右子树 高，所以 要让 此树 的 右子树 高度 +1。
口诀： 左边单纯高，右单旋
- 将出问题的节点 (6节点)往下压 ，它的
左子树(3节点) 变为 它原来的左子树(3节点)的右子树(b子树)。 - 出问题的节点(6节点)，变为 它原来的
左子树(3节点) 的右子树。
图解：
这就是 右单选。
2.3 右左双旋
这个其实用 具体点的图 好讲，因为 它得先右旋一下，再左旋一下，比较复杂，所以 我给出三种具像图：
1. h 为 0，也就是 高度为 0。
(1)先对 平衡因子 为-1 的节点 (6节点) ，进行右单旋
可以看到，先在是什么情况？平衡因子出问题的是 2，它的右子树平衡因子是1。单纯的右边高，所以要怎么办？左单旋。
(2) 再对 平衡因子 为 2 的节点 ，进行左单旋
2. h = 1的情况
那么现在 新插入的节点 插入到 5节点 的左边或者右边 都会造成 右左双旋
那么 对 6节点先进行右单旋：
再对 3节点 进行 左单旋：
3. 当 h=2 的情况：
这种情况就多了，但是我只以一种为例子：
(1) 对 6进行 右单旋：
(2) 对 3节点 进行 左单旋
总结一下：我们 抽像的想一下
这个左右双旋，无非就是将 b这颗子树 的根节点 推上去 成为 3节点和6节点 的根，然后 将 b子树 的左子树 分给 3节点，右子树 分给 6节点。就类似这样：
就是 推上去，再瓜分掉其左右子树。这确实有点抽象。
说说结论：先对 出现问题的节点的右子树 进行 右单旋，再对出现问题的节点 进左单旋。当然 平衡因子这里有细节，实现的时候，我们再讲。
2.4 左右双旋
这种情况就需要 左右双旋：
图解如下：
(1) 先 对3节点 进行 左单旋
(2) 再 对6节点 进行右单旋
就是这样，完成了 左右双旋。
2.5 对旋转的总结
什么时候需要旋转？当出现 平衡因子 为 2或者 -2 时。
- 左单旋：出现问题的节点 的平衡因子 为 2，它的右子树 平衡因子 为 1。本质 ：新增的节点 单纯的使得 右树增高。
- 右左双旋 ：出现问题的节点 的平衡因子 为 2，它的右子树 平衡因子 为 -1。本质：新增的节点 对于平衡因子为2 来说 它是插入到右树，但是对于平衡因子 为 -1，它是插入到了 左边。
- 右单旋：出现问题的节点 的平衡因子为 -2，它的左子树 平衡因子为 -1。本质：新增的节点 单纯的使得 左树增高。
- 左右双旋：出现问题的节点 的平衡因子 为 -2，它的左子树 平衡因子为 1。本质：新增的节点 对于平衡因子为-2的来说，它是插入到了左树，但是对于平衡因子为 1的来说，它是插入到了 右树。
就这些情况，上面 一 一 对应的 都讲到了，只是理论实现，我们下面进行实践。
3. AVL树的实现
3.1 AVL树的 节点
template<class K, class V>
struct AVL_node
{
AVL_node<K, V>* left_;
AVL_node<K, V>* right_;
AVL_node<K, V>* parents_;
std::pair<K, V> kv_;
int ef_; //Equilibrium factor 平衡因子
AVL_node(const std::pair<K, V>& kv)
:left_(nullptr),
right_(nullptr),
parents_(nullptr),
kv_(kv),
ef_(0)
{}
};
用三叉链来 实现 AVL树：
有指向左树的指针，右树的指针；指向父亲的指针；它的节点数据 是一个 pair
3.2 AVL树的私有成员以及构造
AVL树 只需要记录根节点，就可以了。构造也很简单。
template<class K,class V>
class AVL_tree
{
typedef AVL_node<K,V> Node;
private:
Node* _root;
public:
AVL_tree()
:_root(nullptr)
{}
};
3.3 AVL树的插入
这是重点，首先 AVL树是一个搜索树，所以得遵循搜索树的逻辑去 插入节点 ；其次 我们要更新平衡因子；然后根据 平衡因子 来判断 需不要 旋转。对于平衡因子的更新，以及 是否要旋转 ，上文都有讲解。
public:
bool insert(const std::pair<K,V>& node)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(node);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (node.first > cur->kv_.first)
{
parent = cur;
cur = cur->right_;
}
else if (node.first< cur->kv_.first)
{
parent = cur;
cur = cur->left_;
}
else
{
assert(false);
}
}
cur = new Node(node);
if (parent->kv_.first > cur->kv_.first)
{
parent->left_ = cur;
cur->parents_ = parent;
}
else
{
parent->right_ = cur;
cur->parents_ = parent;
}
/ 控制平衡
更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->left_)
{
parent->ef_--;
}
else
{
parent->ef_++;
}
if (parent->ef_ == 0)
break;
else if (parent->ef_ == 1 || parent->ef_ == -1)
{
继续往上更新 平衡因子
cur = parent;
parent = cur->parents_;
}
else if (parent->ef_ == 2 || parent->ef_ == -2)
{
// 旋转
if (parent->ef_ == 2 && parent->right_->ef_ == 1)
{
// 左单旋转
revolov_L(parent);
}
else if (parent->ef_ == 2 && parent->right_->ef_ == -1)
{
/// 右左双旋
revolov_RL(parent);
}
else if (parent->ef_ == -2 && parent->left_->ef_ == -1)
{
右单旋
revolov_R(parent);
}
else if (parent->ef_ == -2 && parent->right_->ef_ == 1)
{
/// 左右双旋
revolov_LR(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
}
}
3.3.1 左单旋代码实现
issue 就是 问题，英文翻译一锤。还有那个 issue_node_parent 有三种情况：
- 为空，说明 issue_node 是根节点
- issue_node 可能 连接在 issue_node_parent 的左边
- issue_node 可能 连接在 issue_node_parent 的右边
这种情况 就是 左单旋：
void revolov_L(Node* issue_node)
{
Node* issue_Rnode = issue_node->right_;
Node* issue_Rnode_L = issue_Rnode->left_;
Node* issue_node_parent = issue_node->parents_;
issue_node->right_ = issue_Rnode_L;
if (issue_Rnode_L)
{
issue_Rnode_L->parents_ = issue_node;
}
issue_Rnode->left_ = issue_node;
issue_node->parents_ = issue_Rnode;
if (issue_node_parent == nullptr)
{
_root = issue_Rnode;
issue_Rnode->parents_ = nullptr;
}
else
{
if (issue_node_parent->left_ == issue_node)
issue_node_parent->left_ = issue_Rnode;
else
issue_node_parent->right_ = issue_Rnode;
issue_Rnode->parents_ = issue_node_parent;
}
issue_node->ef_ = issue_Rnode->ef_ = 0;
}
其实 旋转的关键 就是在于 改变 三叉链的 链接关系。
代码结合 图解：
(1)
issue_node->right_ = issue_Rnode_L;
// 判读是否为空
if (issue_Rnode_L)
{
issue_Rnode_L->parents_ = issue_node;
}
(2)
issue_Rnode->left_ = issue_node;
issue_node->parents_ = issue_Rnode;
// 改变 issue_Rnode 的 parents
if (issue_node_parent == nullptr)
{
_root = issue_Rnode;
issue_Rnode->parents_ = nullptr;
}
else
{
if (issue_node_parent->left_ == issue_node)
issue_node_parent->left_ = issue_Rnode;
else
issue_node_parent->right_ = issue_Rnode;
issue_Rnode->parents_ = issue_node_parent;
}
就是这样式的，最后 更新一下 平衡因子 就 OK了。
3.3.2 右单旋代码实现
void revolov_R(Node* issue_node)
{
Node* issue_Lnode = issue_node->left_;
Node* issue_Lnode_R = issue_Lnode->right_;
Node* issue_node_parent = issue_node->parents_;
issue_node->left_ = issue_Lnode_R;
if (issue_Lnode_R)
{
issue_Lnode_R->parents_ = issue_node;
}
issue_Lnode->right_ = issue_node;
issue_node->parents_ = issue_Lnode;
if (issue_node_parent == nullptr)
{
_root = issue_Lnode;
issue_Lnode->parents_ = nullptr;
}
else
{
if (issue_node_parent->left_ == issue_node)
issue_node_parent->left_ = issue_Lnode;
else
issue_node_parent->right_ = issue_Lnode;
issue_Lnode->parents_ = issue_node_parent;
}
issue_node->ef_ = issue_Lnode->ef_ = 0;
}
这就是 和上面 反一下，逻辑一样的。
3.3.3 右左双旋代码实现
void revolov_RL(Node* issue_node)
{
revolov_R(issue_node->right_);
revolov_L(issue_node);
}
3.3.4 左右双旋代码实现
void revolov_LR(Node* issue_node)
{
revolov_L(issue_node->left_);
revolov_R(issue_node);
}
3.4 AVL树的中序遍历
我们都知道 搜索树 的中序遍历就是 有序的。所以 可以用来 先验证 一下 我们上面 实现的 AVL树是否为 搜索树。
public:
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
return;
_InOrder(root->left_);
std::cout << root->kv_.first << ":" << root->kv_.second << std::endl;
_InOrder(root->right_);
}
好，现在 我们 来验证一下:
int main()
{
AVL_tree<int, int> t;
//int a[] = {5,4,3,2,1,0};
//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
for (auto e : a)
{
t.insert(std::make_pair(e, e));
}
t.InOrder();
return 0;
}
运行结果：
没问题 就是 搜索树。
3.5 AVL树 验证 平衡
验证平衡的关键 就是 ：左右子树的差值 ，是否 与平衡因子 相等。
有人说:直接 查看 平衡因子就行了，这是不可以的，因为平衡因子 是由我们来控制的，它不一定能 反馈真实情况。
public:
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
private:
int Height(Node* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
int leftHeight = Height(root->left_);
int rightHeight = Height(root->right_);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == NULL)
return true;
// 对当前树进行检查
int leftHeight = Height(root->left_);
int rightHeight = Height(root->right_);
if (rightHeight - leftHeight != root->ef_)
{
std:: cout << root->kv_.first << "现在是:" << root->ef_ << std::endl;
std:: cout << root->kv_.first << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << std::endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalance(root->left_)
&& _IsBalance(root->right_);
}
好，验证一下是否平衡：
int main()
{
AVL_tree<int, int> t;
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
for (auto e : a)
{
t.insert(std::make_pair(e, e));
std::cout << "Insert" << e << ":" << t.IsBalance() << std::endl;
}
return 0;
}
发现 插入 14 的时候，导致 6节点 的平衡因子 出错了，平衡因子有问题 绝对会影响 后序的插入。
这是为什么呢？
插入 14节点，会怎样？ 右左双旋
先对 15节点 右单旋
再对 6 进行 左单旋转
6节点 的平衡因子 是 -1，但是 因为 对它进行了 左单旋，将它的平衡因子 置成了 0。这就是问题所在，所以双旋需要控制平衡因子，怎么控制呢？
3.5.1 控制双旋的平衡因子
3.5.1.1 右左双旋
其实这块，可以翻上去 看看 我画的 那三种情况：
旋转完后， 6 的平衡因子 有两种情况 ：
- 6 的平衡因子为 0，h为 0，所以 b是新增节点
- 6 的平衡因子为 1，说明 新增的节点 是 b树的 左边
旋转完后，3 的平衡因子 有两种情况： - 3 的平衡因子为 0，h为 0，所以 b是新增节点
- 3 的平衡因子为 -1，说明 新增的节点是 b树的 右边
总结一下：出问题的节点 双旋完之后，它的平衡因子 必然为0；关键就是 那个平衡因子为 -1的节点，双旋完后，它的平衡因子需要控制，它的平衡因子控制看的是 b树的情况。
我还是 画画 图吧。
(1) 第一种情况，这个比较简单
(2) 新增节点在 b树的右边
(3) 新增节点在 b树的左边
从这其实 也能再次抽象 理解 ：
将 那个新增节点的根节点，推上去作为此支树的根，然后让出问题的节点和问题节点的右树瓜分它的 左子树和右子树。 没瓜分到的 所以就会 导致 平衡因子 为 1或者 -1。
代码实现:
void revolov_RL(Node* issue_node)
{
Node* issue_Rnode = issue_node->right_;
Node* issue_Rnode_L = issue_Rnode->left_;
int flag = 0;
if (issue_Rnode_L->ef_ == 1)
{
flag = 1;
}
if (issue_Rnode_L->ef_ == -1)
{
flag = -1;
}
revolov_R(issue_Rnode);
revolov_L(issue_node);
if (flag == 1)
{
issue_node->ef_ = -1;
}
if (flag == -1)
{
issue_Rnode->ef_ = 1;
}
}
昂，再来 验证一下上面那个 平衡：
这就解决问题了。
3.5.1.2 左右双旋
有了上面的基础，其实 左右双旋也是可以实现的，主要是 看 b树情况：
只不过就反一下而已，我直接画图：
(1)
(2)
(3)
代码实现：
void revolov_LR(Node* issue_node)
{
Node* issue_Lnode = issue_node->left_;
Node* issue_Lnode_R = issue_Lnode->right_;
int flag = 0;
if (issue_Lnode_R->ef_ == 1)
{
flag = 1;
}
if (issue_Lnode_R->ef_ == -1)
{
flag = -1;
}
revolov_L(issue_node->left_);
revolov_R(issue_node);
if (flag == 1)
{
issue_Lnode->ef_ = -1;
}
if (flag == -1)
{
issue_node->ef_ = 1;
}
}
就是这样，大家下去好好思考。
4. AVL树 代码汇总
#pragma once
#include5.结尾
以上就是 AVL树 的实现，有问题 的私信，或者评论。