高阶数据结构之AVL树

AVL树的插入实现

AVL树是二叉平衡树，即在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。

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1. 搜索树

二叉搜索树

特征：
任取树中的结点，要求结点的左子树中的所有key全部小于结点的key
结点的右子树中的所有key全部大于结点的key

1.前置约束基本没有
2.compare（TreeMap的key或者treeSet的元素，必须具有compare的能力（Comparable OR Comparator））
3.搜索树时间复杂度最坏情况下是O(n)——（最坏情况，退化成单支树）
一般提到搜索树，都是说平衡搜索树（高度不会差太多），时间复杂度为O(log(n)) 插入/删除/查找（找到位置直接操作）
而修改平衡搜索树（key）一般采用：先删除（删除原来的val），后插入（插入修改后的数据），不能破坏树的特性

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2.平衡搜索树的具体实现

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1.二叉平衡搜索树——AVL树

AVL的树的要求
1.二叉树
2.搜索树
3.任取树的结点，该结点的左右子树高度差不超过1（任取结点，BF in(-1,0,1)）

(1)关于AVL树的查找——和平衡树查找方式一致
(2)关于AVL树的插入
插入之前：整棵树满足AVL的特征
插入期间：AVL的特征可能会被临时性的破坏掉，所有插入过程中，我们要负责修复AVL的特征
插入之后：整棵树仍满足AVL的特征

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前提定义：

插入过程：
1.完全按照普通搜索树的方式插入
遇到重复的数怎么办？
搜索树中就不允许key重复，所以会插入失败。

2.标注+更新平衡因子
（1）.新插入的结点，平衡因子一定是0
（2）.新结点的父节点（parent）的BF需要更新
（3）.parent.BF=? 需要看cur == parent.left(parent.BF=parent.BF+1) OR cur == parent.right(parent.BF=parent.BF-1)
（4）.parent.BF变化的完整表

之前满足AVL时parent.BF的值	left or right	parent.BF之后的值
-1	left	0
-1	right	-2
0	left	1
0	right	-1
1	left	2
1	right	0

（5）.考虑两个点：
《1》parent的BF值是否破化了AVL树的特征；
《2》H(parent)是否发生了变化（是否增加一）
情况一：

情况二：

第三种情况：

如果是第三种情况，需要进行失衡调整，调整方式又分为：
1.左左失衡

2.左右失衡

3.右右失衡

4.右左失衡
（等我闲了我再画）

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关于树的旋转

二叉搜索树在失去平衡之后，可以通过旋转的方式，来解决不平衡
树的旋转目标是 ：旋转完之后，仍然是搜索树

情况	旋转前	左旋/右旋	旋转后
左左失衡		右旋
左右失衡		1.对失衡结点的左孩子左旋，使其变为左左失衡 2.针对失衡结点右旋
右右失衡		左旋
右左失衡		1.首先对失衡因子的右孩子，右旋 2.然后失衡因子，左旋

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1.针对失衡结点右旋

已知：Key(甲) 调整为：

伪代码：

void rightRotate(Node parent){
    Node parentOfParent=parent.parent;//假设parent不是根
    Node cur = parent.left;
    Node rootOf乙子树=cur.right;
    cur.right=parent;
    parent.parent=cur;
    parent.left=rootOf乙子树；
    if(rootOf乙子树!=null){
       rootOf乙子树.parent=parent;
    }
    修改parentOfParent的孩子变成cur,但需要考虑以下情况：
    1.parent原来不是根（parentOfParent!=null）
    2.分清楚parent原来是parentOfParent的左边还是右边
}

左旋

代补充！

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关于失衡修复后平衡因子的计算

• 当左左失衡的情况下，进行右旋解决失衡问题，最终，结点的平衡因子：
  BF(parent)=BF(cur)=0
• 当左右失衡的情况下，进行先左旋，后右旋解决失衡问题，最终，结点的平衡因子：
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  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TSVyY94D-1601206926363)(en-resource://database/896:1)]

旋转前破坏因子高度	旋转后
BF(cc)==1:破环源来自乙子树 H(乙)=x,H(丙)=x-1	H(甲)=H(乙)=H(丁)=x,H(丙)=x-1; BF( c) =0,BF(cc)=0,BF( p)=-1
BF(cc)==-1:破环源来自丙子树 H(丙)=x,H(乙)=x-1	BF( c )=1,BF(cc)=0,BF( p)=0
BF(cc)==0:破环源就是cc H(乙)=H(丙)=x=0	BF( c)=0,BF(cc)=0,BF( p)=0

AVL树的实现

1.按照普通搜索树的插入方式进行插入
2.插入之后，调整收到影响的结点的平衡因子
记，需要调整BF的结点为parent

• 如果破坏源来自parent的left，则BF(parent)++
• 如果破坏源来自parent的right，则BF(parent)- -

3.得到调整BF后的结果

4.四种失衡状况

• 1.左左失衡——对失衡结点右旋
• 2.左右失衡——先失衡结点的left左旋，再失衡结点右旋
• 3.右右失衡——对失衡结点左旋
• 4.右左失衡——先失衡结点的right右旋，再失衡结点左旋

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设计的AVL树的结构：

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区分左左or左右

区分右右or右左

左旋

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右旋上面有

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验证avl树

1.是不是二叉树（结构规定了肯定是二叉树）
2.验证是否为二叉搜索树（中序遍历结构有序）
3.是不是AVL树

• 是不是树中，每个结点BF in（-1，0，1）
• 验证每个结点BF是不是存储正确数值（当前结点的BF是不是等于它左子树BF-右子树BF）

AVL树的时间复杂度：

查找O(log(n))
插入O(log(n))
插入过程比较复杂，如果想实现线程安全版本的AVL树，很复杂（好吧我是菜鸡QAQ！！）