梯度下降算法动图_一文看懂常用的梯度下降算法

概述

梯度下降算法(Gradient Descent Optimization)是神经网络模型训练最常用的优化算法。对于深度学习模型，基本都是采用梯度下降算法来进行优化训练的。梯度下降算法背后的原理：目标函数

关于参数

的梯度将是损失函数(loss function)上升最快的方向。而我们要最小化loss，只需要将参数沿着梯度相反的方向前进一个步长，就可以实现目标函数(loss function)的下降。这个步长

又称为学习速率。参数更新公式如下：

其中

是参数的梯度，根据计算目标函数采用数据量的不同，梯度下降算法又可以分为批量梯度下降算法(Batch Gradient Descent)，随机梯度下降算法(Stochastic Gradient Descent)和小批量梯度下降算法(Mini-batch Gradient Descent)。对于批量梯度下降算法，其

是在整个训练集上计算的，如果数据集比较大，可能会面临内存不足问题，而且其收敛速度一般比较慢。随机梯度下降算法是另外一个极端，

是针对训练集中的一个训练样本计算的，又称为在线学习，即得到了一个样本，就可以执行一次参数更新。所以其收敛速度会快一些，但是有可能出现目标函数值震荡现象，因为高频率的参数更新导致了高方差。小批量梯度下降算法是折中方案，选取训练集中一个小批量样本(一般是2的倍数，如32，64,128等)计算，这样可以保证训练过程更稳定，而且采用批量训练方法也可以利用矩阵计算的优势。这是目前最常用的梯度下降算法。

对于神经网络模型，借助于BP算法可以高效地计算梯度，这非常利于采用梯度下降算法对神经网络进行训练。梯度下降算法中一个重要的参数是学习速率，适当的学习速率很重要：学习速率过小时收敛速度慢，而过大时导致训练震荡，而且可能会发散。理想的梯度下降算法要满足两点：收敛速度要快；而且能全局收敛。为了这个理想，出现了很多经典梯度下降算法的变种，下面将分别介绍它们。

Exponentially weighted moving averages

在讲各种改进的梯度下降算法之前，我们先简单介绍一下exponentially weighted moving averages，即指数加权移动平均数，因为后面讲到的很多算法要用到这个概念。其针对的序列数据，比如

时刻的观测值为

，那么评估

时刻的移动平均值为：

其中

是上一时刻的移动平均值，其实也可以看成历史积累量，一般

，而

是一个系数，其在0~1之间，可以看到移动平均值是按比例合并历史量与当前观测量。现在我们展开上面的式子：

展开之后，我们可以直观的看到对于每个

值，其权重是不一样的，实际上是指数递减的，从当前往后指数递减，所以距离时刻较近的数据会对当前值影响较大，这样计算的好处是平均数会比较平稳。由于权重指数衰减，所以移动平均数只是计算比较相近时刻数据的加权平均数，一般可认为这个时间范围为

，比如

，你可以近似认为只是平均了10时刻之内的数据而已，因为再往前权重太小了，基本没影响了。如果你熟悉级数的话，也可以计算出权重和是近似为1的，这是在无穷的情况下，但是在前期计算时，权重之和是会小于1的，为了解决这个问题，指数加权移动平均数会引入偏差修正：

其实很好理解，就是前期计算时要放大一下计算结果，而后期不需要，此时

的值也接近1了。

Momentum optimization

冲量梯度下降算法是Boris Polyak在1964年提出的，其基于这样一个物理事实：将一个小球从山顶滚下，其初始速率很慢，但在加速度作用下速率很快增加，并最终由于阻力的存在达到一个稳定速率。对于冲量梯度下降算法，其更新方程如下：

可以看到，参数更新时不仅考虑当前梯度值，而且加上了一个积累项(冲量)，但多了一个超参

，一般取接近1的值如0.9。相比原始梯度下降算法，冲量梯度下降算法有助于加速收敛。当梯度与冲量方向一致时，冲量项会增加，而相反时，冲量项减少，因此冲量梯度下降算法可以减少训练的震荡过程。

有时候，冲量梯度下降算法也可以按下面方式实现：

此时我们就可以清楚地看到，所谓的冲量项其实只是梯度的指数加权移动平均值。这个实现和之前的实现没有本质区别，只是学习速率进行了放缩一下而已。

TensorFlow中提供了冲量梯度下降算法的实现：

tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate=learning_rate,

momentum=0.9)

Nesterov Accelerated Gradient (NAG)

NAG算法是Yurii Nesterov在1983年提出的对冲量梯度下降算法的改进版本，其速度更快。其变化之处在于计算“超前梯度”更新冲量项，具体公式如下：

既然参数要沿着

更新，不妨计算未来位置

的梯度，然后合并两项作为最终的更新项，其具体效果如图1所示，可以看到一定的加速效果。在TensorFlow中，NAG优化器为：

tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate=learning_rate, momentum=0.9, use_nesterov=True)图1 NAG效果图

AdaGrad

AdaGrad是Duchi在2011年提出的一种学习速率自适应的梯度下降算法。在训练迭代过程，其学习速率是逐渐衰减的，经常更新的参数其学习速率衰减更快，这是一种自适应算法。 其更新过程如下：

其中是梯度平方的积累量

，在进行参数更新时，学习速率要除以这个积累量的平方根，其中加上一个很小值

是为了防止除0的出现。由于

是逐渐增加的，那么学习速率是衰减的。考虑如图2所示的情况，目标函数在两个方向的坡度不一样，如果是原始的梯度下降算法，在接近坡底时收敛速度比较慢。而当采用AdaGrad，这种情况可以被改观。由于比较陡的方向

比较大，其学习速率将衰减得更快，这有利于参数沿着更接近坡底的方向移动，从而加速收敛。图2 AdaGrad效果图

前面说到AdaGrad其学习速率实际上是不断衰减的，这会导致一个很大的问题，就是训练后期学习速率很小，导致训练过早停止，因此在实际中AdaGrad一般不会被采用，下面的算法将改进这一致命缺陷。不过TensorFlow也提供了这一优化器：tf.train.AdagradOptimizer。

RMSprop

RMSprop是Hinton在他的课程上讲到的，其算是对Adagrad算法的改进，主要是解决学习速率过快衰减的问题。其实思路很简单，类似Momentum思想，引入一个超参数，在积累梯度平方项进行衰减：

此时可以看到

是梯度平方的指数加权移动平均值，其中

一般取值0.9，此时

更平稳，减少了出现的爆炸情况，因此有助于避免学习速率很快下降的问题。同时Hinton也建议学习速率设置为0.001。RMSprop是属于一种比较好的优化算法了，在TensorFlow中当然有其身影：

tf.train.RMSPropOptimizer(learning_rate=learning_rate, momentum=0.9, decay=0.9, epsilon=1e-10)

不得不说点题外话，同时期还有一个Adadelta算法，其也是Adagrad算法的改进，而且改进思路和RMSprop很像，但是其背后是基于一次梯度近似代替二次梯度的思想，感兴趣的可以看看相应的论文，这里不再赘述。

Adaptive moment estimation (Adam)

Adam是Kingma等在2015年提出的一种新的优化算法，其结合了Momentum和RMSprop算法的思想。相比Momentum算法，其学习速率是自适应的，而相比RMSprop，其增加了冲量项。所以，Adam是两者的结合体：

可以看到前两项和Momentum和RMSprop是非常一致的， 由于和的初始值一般设置为0，在训练初期其可能较小，第三和第四项主要是为了放大它们。最后一项是参数更新。其中超参数的建议值是:

。Adm是性能非常好的算法，在TensorFlow其实现如下：

tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999, epsilon=1e-08)

学习速率

前面也说过学习速率的问题，对于梯度下降算法，这应该是一个最重要的超参数。如果学习速率设置得非常大，那么训练可能不会收敛，就直接发散了；如果设置的比较小，虽然可以收敛，但是训练时间可能无法接受；如果设置的稍微高一些，训练速度会很快，但是当接近最优点会发生震荡，甚至无法稳定。不同学习速率的选择影响可能非常大，如图3所示。图3 不同学习速率的训练效果

理想的学习速率是：刚开始设置较大，有很快的收敛速度，然后慢慢衰减，保证稳定到达最优点。所以，前面的很多算法都是学习速率自适应的。除此之外，还可以手动实现这样一个自适应过程，如实现学习速率指数式衰减：

在TensorFlow中，你可以这样实现：

initial_learning_rate = 0.1

decay_steps = 10000

decay_rate = 1/10

global_step = tf.Variable(0, trainable=False)

learning_rate = tf.train.exponential_decay(initial_learning_rate,

global_step, decay_steps,

decay_rate)

# decayed_learning_rate = learning_rate *decay_rate ^ (global_step / decay_steps)

optimizer = tf.train.MomentumOptimizer(learning_rate, momentum=0.9)

training_op = optimizer.minimize(loss, global_step=global_step)

局部最优和鞍点

前面说到，我们希望优化算法能够收敛速度快，并且想找到全局最优。对于凸函数来说，其仅有一个极值点，就是全局最优点，如图4所示，此时采用梯度下降算法是可以收敛到最优点的，因为沿着下坡的道路走就可以了。但是其实现在的深度学习模型是一个庞大的非线性结构，这样其一般是非凸函数，就如图5所示那样，存在很多局部最优点(local optimum)，一旦梯度下降算法跳进局部陷阱，可以想象其很难走出来，这就很尴尬了，此时梯度下降算法变得不再那么可靠，因为我们想要的是全局最优。很难找到全局最优，这可能是目前优化算法共同面对的问题，如进化算法。不过到底深度学习的损失函数是不是存在很多局部最优点呢？前面所有的分析都是基于低维空间，我们很容易观察到局部最优点。但是深度学习的参数一般庞大，其损失函数已经成为了超高维空间。但是Bengio等最新的研究表明，对于高维空间，非凸函数最大的存在不是局部最优点，而是鞍点(saddle point)，鞍点也是梯度为0的点，但是它不像局部最优点或者全局最优点。对于局部最优或者全局最优点，其周围的所有方向要朝向上(最小)或者朝向上(最大)，但是考虑到参数庞大，很有可能是一部分方向朝下，一部分方向朝上，这就成为了鞍点。意思就是说在高维度空间，不大可能像低维度空间那样出现很多局部最优。而且鞍点也不大可能会成为梯度下降算法的葬身之地。那么真正影响梯度下降算法会是什么呢？可能是平稳区(plateaus)，如果出现大面积梯度很小或者近似为0的区域，那么梯度下降算法就找不到方向，想象你自己站在一望无际的平原，估计你也方向感全无了。当前上面所有的谈论仅是停留在经验，对于高维空间，无论如何很难直观想象，这还是一个历史难题吧。图4 凸函数，无局部最优图5 存在很多局部最优点的非凸函数图6 存在鞍点的函数

总结

本文简单介绍了梯度下降算法的分类以及常用的改进算法，总结来看，优先选择学习速率自适应的算法如RMSprop和Adam算法，大部分情况下其效果是较好的。还有一定要特别注意学习速率的问题。其实还有很多方面会影响梯度下降算法，如梯度的消失与爆炸，这也是要额外注意的。最后不得不说，梯度下降算法目前无法保证全局收敛还将是一个持续性的数学难题。

参考资料

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