杭电2048错排

错排公式是f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2)) 不过还是稍稍的分析一下这个入门题 就像一个将信件放入不同信箱的例子， 我们先考虑前n-1的情况 1.前n-1个信件全部都放错了，那么我们考虑n个的情况时，只需要将第N个信件与前n-1个信件的任意一

个做一个交换就ok了，这个结果是(n-1)*f(n-1) 2.然后再考虑前n-1个并没有完全放错，那么要想使第n个信封加入时和和其中的某一个信封进行交换可

以实现n个信件全部放错的情况，那么必须前n-1个当中有且只有一个信件是放正确的，就是说前n-2个是

放错误的，也就是f(n-2)，然后就很明显了，只需要将第n个信件和那个正确的交换一下就ok了，而那一

个正确的信件有n-1中不同的选择方法，所以结果就是(n-1)*f(n-2)

递推题    N张票的所有排列可能自然是Ann = N!种排列方式 现在的问题就是N张票的错排方式有几种。 首先我们考虑，如果前面N-1个人拿的都不是自己的票，即前N-1个人满足错排，现在又来了一个人，他

手里拿的是自己的票。 只要他把自己的票与其他N-1个人中的任意一个交换，就可以满足N个人的错排。这时有N-1种方法。   另外，我们考虑，如果前N-1个人不满足错排，而第N个人把自己的票与其中一个人交换后恰好满足错排

。 这种情况发生在原先N-1人中，N-2个人满足错排，有且仅有一个人拿的是自己的票，而第N个人恰好与他

做了交换，这时候就满足了错排。 因为前N-1个人中，每个人都有机会拿着自己的票。所以有N-1种交换的可能。   综上所述：f(n) = (i - 1) * [f(n - 1) + f(n - 2)] 

 

递推的方法推导错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n）表示，那么M(n-1）就

表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k

个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有M(n-2）种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这

n-1个元素，有M(n-1）种方法；

综上得到

M(n)=(n-1）[M(n-2）+M(n-1）]

 

原文地址：错排公式作者：stven_king 转载：http://blog.163.com/seeker_forever/blog/static/163238938201042211595207/

 

颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文（见《数学通报》 2000 年第 6 期 p.35 ），给出了该经典问题的一个模型和求解公式：

编号为 1 ， 2 ，……， n 的 n 个元素排成一列，若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同，则称这个排列为 n 个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ，则

f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]（ 1 ）

本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。

1. 一个简单的递推公式

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：

第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。

第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若 1 号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：（ 1 ） k 号元素排在第 1 个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；（ 2 ） k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。

根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。

 

再次补充：

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。

当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：

1.当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装。

2.前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装，故=F(N-1) * (N-1)。

3.后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意

一个，故= F(N-2) * (N-1)。

基本形式：d[1]=0;   d[2]=1 递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

这就是著名的错排公式