RMP

1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

 

2.RMQ算法

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

 

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

代码如下：

 1 void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)

 2 {

 3     for(int j = 1; j < 20; ++j)

 4         for(int i = 1; i <= num; ++i)

 5             if(i + (1 << j) - 1 <= num)

 6             {

 7                 maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

 8                 minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

 9             }

10 }

 

 

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

 

 

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

 

为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

 

 

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

 

在这里我们也需要注意一个地方，就是<<运算符和+-运算符的优先级。

比如这个表达式：5 - 1 << 2是多少？

 

答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

我的模版：

 1 //poj 3264

 2  #include <iostream>

 3  #include <cstdio>

 4  #include <cmath>

 5  #include <algorithm>

 6  

 7  using namespace std;

 8  

 9  #define MAXN 50010

10  #define Max(x,y) (x>y?x:y)

11  #define Min(x,y) (x>y?y:x)

12  

13  int maxsum[MAXN][20],minsum[MAXN][20];//表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值/最小值

14  

15  void RMQ(int num)

16  {

17      for(int j=1;j<20;j++)

18          for(int i=1;i<=num;i++)

19          {

20              if(i+(1<<j)-1 <= num)

21              {

22                  maxsum[i][j]=Max(maxsum[i][j-1],maxsum[i+(1<<(j-1))][j-1]);

23                  minsum[i][j]=Min(minsum[i][j-1],minsum[i+(1<<(j-1))][j-1]);

24              }

25          }

26  }

27  

28  int main()

29  {

30      int i,j,num,t,query;

31      while(scanf("%d%d",&num,&query) != EOF)

32      {

33          for(i=1;i<=num;i++)

34          {

35              scanf("%d",&maxsum[i][0]);

36              minsum[i][0]=maxsum[i][0];

37          }

38          RMQ(num);

39          int st,en,maxl,minl;

40          while(query--)

41          {

42              scanf("%d%d",&st,&en);

43              int k=(int)((log(en-st+1))/log(2.0));

44              maxl=Max(maxsum[st][k],maxsum[en-(1<<k)+1][k]);

45              minl=Min(minsum[st][k],minsum[en-(1<<k)+1][k]);

46              printf("%d\n",maxl-minl);

47          }

48      }

49      return 0;

50  }