Bellman-Ford解决单源最短路径（负权边）

1.案例描述

求下图1号节点到所有节点之间的最短距离。

给出的边的信息如下（节点u—>节点v，边的权重是w）：
u v w
2 3 2
1 2 -3
1 5 5
4 5 2
3 4 3

2.数据结构

将所有的边的信息存储于数组中，其中数组u[i]表示开始节点，数组v[i]表示结束节点，w[i]表示从节点u[i]到节点v[i]的权重。数组dis存储1号顶点（源点）到所有顶点的距离。四个数组的初始化状态均如下：

因为初始化数组dis的时候默认为顶点1还没有边相连，所以设置顶点1到其余各个顶点的距离均为∞。

3.算法思想与具体步骤

算法的基本思想为：对所有的边进行n-1次“松弛”操作。所谓“松弛”操作就是每次加入新的节点i，将节点i作为中间节点，判断源点—>节点i—>各个节点的最短距离 较之于 上一次的最短距离是否会有更新。
在案例中，具体过程可以理解为如下几个步骤：

1. 数据结构的初始化（见第2章），如下图：
   
   可以认为当前的图像只有一个节点，如下所示：
   

2. 第①轮对所有边进行松弛。

边信息	松弛过程	是否更新
节点2—>节点3，w= 2	dis[3] = ∞；（dis[2] = ∞） +（ w = 2），不能使dis[3]变小（初始化1->3和路径1->2->3比较）	否
节点1—>节点2，w= -3	dis[2] = ∞；（dis[1] = 0） +（ w = -3） = -3，能使dis[2]变小（初始化1->2和路径1->2比较）	更新dis[2] = -3
节点1—>节点5，w= 5	dis[5] = ∞ ； （dis[1] = 0） +（ w = 5） = 5，能使dis[5]变小（初始化1->5和路径1->5比较）	更新dis[5] = 5
节点4—>节点5，w= 2	dis[5] = ∞；（dis[4] = ∞ ）+ （w = 2），不能使dis[5]变小（初始化1->5和路径1->4->3比较）	否
节点3—>节点4，w= 3	dis[4] = ∞；（dis[3] = ∞ ）+ （w = 3），不能使dis[4]变小（初始化1->5和路径1->3->4比较）	否

按照如上所述，数据结构更新为：

3. 第②轮对所有边进行松弛。

边信息	松弛过程	是否更新
节点2—>节点3，w= 2	dis[3] = ∞；（dis[2] = -3） +（ w = 2） = -1，可以使dis[3]变小（初始化1->3和路径1->2->3比较）	更新dis[3] = -1
节点1—>节点2，w= -3	dis[2] = -3；（dis[1] = 0） +（ w = -3） = -3，不能使dis[2]变小（同一条路径原地比较）	否
节点1—>节点5，w= 5	dis[5] = 5 ； （dis[1] = 0） +（ w = 5） = 5，不能使dis[5]变小（同一条路径原地比较）	否
节点4—>节点5，w= 2	dis[5] = 5；（dis[4] = ∞ ）+ （w = 2），不能使dis[5]变小（1->5和路径1->4->5比较）	否
节点3—>节点4，w= 3	dis[4] = ∞；（dis[3] = -1 ）+ （w = 3） = 2，能使dis[4]变小（初始化1->4和路径1->3->4比较），dis[3] = -1 ）为这一步更新	更新dis[4] = 2

按照如上所述，数据结构更新为：

4. 第③轮对所有边进行松弛。

边信息	松弛过程	是否更新
节点2—>节点3，w= 2	dis[3] = -1；（dis[2] = -3） +（ w = 2） = -1，不能使dis[3]变小（同一条路径原地比较）	否
节点1—>节点2，w= -3	dis[2] = -3；（dis[1] = 0） +（ w = -3） = -3，不能使dis[2]变小（同一条路径原地比较）	否
节点1—>节点5，w= 5	dis[5] = 5 ； （dis[1] = 0） +（ w = 5） = 5，不能使dis[5]变小（同一条路径原地比较）	否
节点4—>节点5，w= 2	dis[5] = 5；（dis[4] = 2 ）+ （w = 2） = 4，能使dis[5]变小（1->5和路径路径1->2->3->4->5比较）	更新 dis[5] = 4
节点3—>节点4，w= 3	dis[4] = 2；（dis[3] = -1 ）+ （w = 3） = 2，不能使dis[4]变小（同一条路径原地比较）	否

按照如上所述，数据结构更新为：

5. 第④轮对所有边进行松弛。

边信息	松弛过程	是否更新
节点2—>节点3，w= 2	dis[3] = -1；（dis[2] = -3） +（ w = 2） = -1，不能使dis[3]变小（同一条路径原地比较）	否
节点1—>节点2，w= -3	dis[2] = -3；（dis[1] = 0） +（ w = -3） = -3，不能使dis[2]变小（同一条路径原地比较）	否
节点1—>节点5，w= 5	dis[5] = 5 ； （dis[1] = 0） +（ w = 5） = 5，不能使dis[5]变小（同一条路径原地比较）	否
节点4—>节点5，w= 2	dis[5] = 5；（dis[4] = 2 ）+ （w = 2） = 4，不能使dis[5]变小（同一条路径原地比较）	否
节点3—>节点4，w= 3	dis[4] = 2；（dis[3] = -1 ）+ （w = 3） = 2，不能使dis[4]变小（同一条路径原地比较）	否

至此，所有更新均已完成。

总结

第①轮在对所有的边进行松弛之后，得到的是从1号节点“只能经过一条边”到达其余各顶点的最短路径长度。
第②轮在对所有的边进行松弛之后，得到的是从1号节点“最多经过两条边”到达其余各顶点的最短路径长度。
………………
第k轮在对所有的边进行松弛之后，得到的是从1号节点“最多经过k条边”到达其余各顶点的最短路径长度。
总共需要经过vertice - 1轮就可以得到源点到其他所有节点之间的最短距离，因为任意两点之间的最短路径最多包含vertice - 1个边。

4.回路的判断，最短路径与回路的判断

该算法也可用于判断图中是否有回路。
回路分为正权回路（回路权值之和为正）和负权回路（回路权值之和为负）。
case1：如果最短路径中包含正权回路，那么去掉这个这个回路，一定可以得到更短的路径。
case2：如果最短路径中包含负权回路，那么肯定没有最短路径，因为每多走一次负权回路就可以得到更短的路径。
因此，最短路径肯定不包含回路。
那么如何判断是否有负权回路，见第5部分的代码。

5.具体实现

#include 
#include 

using namespace std;

class Bellman_Ford
{
private:
    int vertice = 0;//顶点数
    int edge = 0;//边数
    
    vector<int> u;
    vector<int> v;
    vector<int> w;
    vector<int> dis;//源点到各个顶点之间的最短距离

public:
    //根据节点值和边值初始化：边的起始节点数组u，边的终止节点数组v，边u[i]->v[i]的权重w
    Bellman_Ford(int x, int y) :vertice(x), edge(y)
    {
        //图的初始化从下标1开始
        dis.resize(vertice + 1);
        u.resize(edge + 1);
        v.resize(edge + 1);
        w.resize(edge + 1);
    }
    //检测负权回路
    bool Detect_negative_weight_circuit()
    {
        bool flag = false;
        for (int i = 1; i <= edge; i++)
        {
            if (dis[v[i]] > dis[u[i]] + w[i])
            {
                flag = 1;
            }           
        }
        return flag;
    }
    //读入图的边，并且根据边的信息初始化数组dis，数组book
    void GetEdgeInfo()
    {
        cout << "输入边的信息（节点1，节点2，权重）：" << endl;
        int e1 = 0, e2 = 0, weigth = 0;
        for (int i = 1; i <= edge; i++)
        {
            cin >> e1 >> e2 >> weigth;
            u[i] = e1;
            v[i] = e2;
            w[i] = weigth;
        }
        for (int i = 2; i <= vertice; i++)
        {
            //dis[1]在构造函数里面已经初始化为0
            dis[i] = INT_MAX;
        }
    }

    //打印
    void Print()
    {
        for (int i = 1; i <= vertice; i++)
        {

            cout << dis[i] << "    ";
        }
        cout << endl;
    }

    //Bellman_Ford核心思想
    void Bellman_Ford_Alg()
    {
        for (int k = 1; k < vertice; k++)//控制松弛的轮数
        {
            bool check = false;//标记在本轮松弛中数组dis是否会发送更新
            //找离1号节点最近的节点（找数组dis中的最小值）           
            for (int i = 1; i <= edge; i++)
            {
                if (dis[u[i]] < INT_MAX && dis[v[i]] > (dis[u[i]] + w[i]))
                {
                    dis[v[i]] = (dis[u[i]] + w[i]);
                    check = true;//如果数组dis发生变化，check的值就改变
                }
            }
            //松弛结束后判断dis数组是否发生变化
            if (check == false)
            {
                break;
            }
            
        }
    }

};

int main()
{
    Bellman_Ford Bellman(5, 5);
    Bellman.GetEdgeInfo();

    cout << "初始信息：" << endl;
    Bellman.Print();

    Bellman.Bellman_Ford_Alg();


    cout << "单源最短路径(顶点1到其余各顶点)：" << endl;
    Bellman.Print();

    bool tag = Bellman.Detect_negative_weight_circuit();
    if (tag)
    {
        cout << "存在负权回路" << endl;
    }
    else
    {
        cout << "不存在负权回路" << endl;
    }
    

    return 0;
}

6.总结

时间复杂度：O(vertice * edge)

7.END！！！