正定矩阵、二次型与椭圆椭球

资料：
矩阵特征值和椭圆长短轴的关系
https://math.stackexchange.com/questions/1447730/drawing-ellipse-from-eigenvalue-eigenvector
http://ee263.stanford.edu/lectures/ellipsoids.pdf
看题目，不要看最后一个答案（错误）

一、正定矩阵与二次型

（1）、定义/充要条件1：$X^{T}AX>0$。一般讲正定的时候会讲对称正定，即$A\in S_{++}^n$

（2）、举例：
举例：
$$a{x}^2+2bxy+c{y}^2=1⟺A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right],X^{T}AX=1$$
（3）性质/充分必要条件2：对称正定矩阵$⟺$所有特征值大于0
简单证明下充分：
$x^{T}Ax\ge 0,Ax=\lambda x,x\ne 0$
因此$x^T\lambda x=\lambda x^{T}x\ge 0$
又因为$x^{T}x>0$
所以$\lambda >0$
(4)性质/充分必要条件3：各阶主子式>0

（4） PS： ${\sum }_i{\lambda }_i=tr(A)$

二、球与椭圆与椭球

（1）椭圆

• 简单

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，两轴分别为x轴/y轴， 半轴长分别为a,b
$⟺$

• 一般情况
  
  
  
  特征向量对应轴的方向；特征值决定半轴长：$\sqrt{\frac{1}{\lambda }}$为半轴长
  小的$\lambda$对应的特征向量为长轴方向（小的倒数就大了，分母大了分子也得对应大–>变长轴
  大的$\lambda$对应的特征向量为短轴方向
• ！！！另外，要注意，因为这里的半轴长是A的特征值倒数的开方，有点拗口，于是有些资料这么定义
  $x^T{A}^{-1}x$，
  那么半轴长=$\sqrt{\frac{1}{{\lambda }_{A^{-1}}}}=\sqrt{{\lambda }_A}$，

（2）球
定义：$B(x_c,r)=\{x|||x-x_c|{|}_2\le r\}=\{x|(x-x_c{)}^T(x-x_c)\le r^2\}$

（3）椭球
$ϵ=\{x|(x-x_c{)}^T{P}^{-1}(x-x_c)\le r^2\}$
$P=P^T\succ 0$即$P\in S_{++}^n$
（注意到定义里用的是$P^{-1}$符号，则半轴长是P的特征值开方，即$P^{-1}$特征值倒数的开方而不是P特征值倒数的开方）

• 可以识别球的更一般形式（加权，旋转），也可以视为椭圆的更高维度形式