初入算法（2）—— 进入算法世界

14天阅读挑战赛

作者简介：一名在校计算机学生、每天分享学习经验、和学习笔记。 

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目录

前言

一.爆炸增量函数

1.引入故事：《一棋盘的麦子》

2.算法中的时间复杂度

3.常见的时间复杂度类型

二.兔子数列

1.什么是兔子数列

2.递推公式

3.尾数循环

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前言

努力是为了不平庸~
在分享的同时加深对于算法的理解，同时吸收他人的奇思妙想，一起见证技术er的成长~

本章将会继续在初入算法（1）——进入算法世界 的基础上继续通过趣学算法进行算法的学习。

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一.爆炸增量函数

1.引入故事：《一棋盘的麦子》

有一个古老的传说，一位国王的女儿不幸落水，水中有很多鳄鱼，国王情急之下下令：“谁能把公主救上来，就把女儿嫁给他。”很多人纷纷退让，一个勇敢的小伙子挺身而出，冒着生命危险把公主救了上来，国王一看是个穷小子，想要反悔，说：“除了女儿，你要什么都可以。”小伙子说：“好吧，我只要一棋盘的麦子。您在第1个格子里放1粒麦子，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，以此类推，每一个格子里麦子的粒数都是前一格子里麦子粒数的两倍。把这64个格子放满了就行，我就要这么多。”国王听后哈哈大笑，觉得小伙子的要求很容易满足，满口答应。结果发现，把全国的麦子都拿来，也填不完这64个格子…..…国王无奈，只好把女儿嫁给了这个小伙子。

 

解析：通过这个故事，算出64格可放的麦子，总和为S

S=1+2一次方＋2的二次方+2的三次方......+2的63次方①

对式①等号的两边乘以2，等式仍然成立

2S=2的一次方+2的二次方+2的三次方+....+2的64次方

用式②减去①得

S=2的64次方-1= 18 446 744 073 709 551615

重量=7729000（亿千克）

我们称这样的函数为爆炸增量函数。

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2.算法中的时间复杂度

如果算法的时间复杂度是O(2n次方)
会怎样？随着n的增长，算法会不会“爆掉”？我们经常见到有些算法调试没问题，
运行一段时间也没问题，但在关键的时候宕机（shutdown）。

例如：在线考试系
统，50人考试没问题，100人考试也没问题，但如果全校10000人考试就可能宕机。

科普：宕机就是死机，指计算机无法正常工作，包括一切原因导致的死机。计算机主机出现意外故障而死机，一些服务器（如数据库服务器）死锁，服务器的某些服务停止运行等，都可以称为宕机。

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3.常见的时间复杂度类型

（1）常数阶
常数阶算法的运行次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法的时间复杂度通常用O（1)表示。
（2）多项式阶
很多算法的时间复杂度是多项式，通常用O（n)、O(n²)、O(n³）等表示。
（3）指数阶
指数阶算法的运行效率极差，程序员往往像躲“恶魔”一样避开这种算法。指数阶算法的时间复杂度通常用O（2ⁿ）、O（n!）、O（nⁿ）等表示。
（4）对数阶
对数阶算法的运行效率较高，通常用O（logn)、O（nlogn)等表示。

 

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二.兔子数列

1.什么是兔子数列

兔子数列又称斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果

斐波那契数列概述图

例子：

假设第1个月有1对初生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去…….那么，由1对初生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

 当月兔子数=上月兔子数+上上月兔子数

算法设计：递归算法

int Fib1(int n){
    if(n==1||n==2)
    return 1;
    return Fib1(n-1)+Fib1(n-2);
}

算法验证：

假设T(n)表示计算Fib1（n)所需的基本操作次数，那么：

n=1时，T(n)=1；
n=2时，T(n)=1；
n=3时，T（n）=3；//调用Fib1（2）和Fib1（1）并执行一次加法运算（Fib1（2）+Fib1（1））

因此，当n>2时需要分别调用Fib1（n-1）和Fib1（n-2）并执行一次加法运算，换
言之：

n>2时，T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1；

递归表达式和时间复杂度T(n)的关系如下：

 由此可得：

 如何算出F(n)?

 求出斐波那契数列的通项公式：

 

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2.递推公式

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...

如果设an为该数列的第n项（），那么这句话可以写成如下形式：

 显然这是一个线性递推数列

通项公式内容

 (如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)

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3.尾数循环

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环

11235,83145,94370,77415,61785,38190,

99875,27965,16730,33695,49325,72910…

进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。

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本章就将学的这里，后续将会继续更新算法文章

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