MATLAB微分和导数

MATLAB提供用于计算符号导数的diff命令。 以最简单的形式，将要微分的功能传递给diff命令作为参数。例如，计算函数的导数的方程式 - 例子创建脚本文件并在其中键入以下代码 -syms t
f = 3t^2 + 2t^(-2);
diff(f)
MATLAB执行上面示例代码，得到以下结果 - Trial>> syms t
f = 3t^2 + 2t^(-2);
diff(f)

ans =

6*t - 4/t^3
Shell以下是使用Octave 计算的写法 -pkg load symbolic
symbols

t = sym(“t”);
f = 3t^2 + 2t^(-2);
differentiate(f,t)
MATLAB执行上面示例代码，得到以下结果 - ans =

6*t - 4/t^3
Shell基本微分规则的验证下面简要说明微分规则的各种方程或规则，并验证这些规则。 为此，我们将写一个第一阶导数f’(x)和二阶导数f“(x)。以下是微分的规则 -规则 - 1对于任何函数f和g，任何实数a和b是函数的导数：h(x) = af(x) + bg(x)相对于x，由h’(x) = af’(x) + bg’(x)给出。规则 - 2sum和subtraction规则表述为：如果f和g是两个函数，则f’和g’分别是它们的导数，如下 - (f + g)’ = f’ + g’

(f - g)’ = f’ - g’
规则 - 3product规则表述为：如果f和g是两个函数，则f’和g’分别是它们的导数，如下 - (f.g)’ = f’.g + g’.f
规则 - 4quotient规则表明，如果f和g是两个函数，则f’和g’分别是它们的导数，那么 -规则 - 5多项式或基本次幂规则表述为：如果y = f(x)= x^n，则 - 这个规则的直接结果是任何常数的导数为零，即如果y = k，那么为任何常数 - f’ = 0
规则 - 5chain规则表述为 - 相对于x的函数h(x)= f(g(x))的函数的导数是 - h’(x)= f’(g(x)).g’(x)
MATLAB例子
创建脚本文件并在其中键入以下代码 -syms x
syms t
f = (x + 2)(x^2 + 3)
der1 = diff(f)
f = (t^2 + 3)(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)
f = (x^2 - 2x + 1)(3x^3 - 5x^2 + 2)
der3 = diff(f)
f = (2x^2 + 3x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5t -9)^(-6)
der6 = diff(f)
MATLAB执行上面示例代码，得到 以下结果 - f =
(x^2 + 3)(x + 2)

der1 =
2x(x + 2) + x^2 + 3

f =
(t^(1/2) + t^3)*(t2 + 3)

der2 =
(t^2 + 3)(3t^2 + 1/(2t^(1/2))) + 2t*(t^(1/2) + t^3)

f =
(x^2 - 2x + 1)(3x^3 - 5x^2 + 2)

der3 =
(2x - 2)(3x^3 - 5x^2 + 2) - (- 9x^2 + 10x)(x^2 - 2x + 1)

f =
(2x^2 + 3x)/(x^3 + 1)

der4 =
(4x + 3)/(x^3 + 1) - (3x^2*(2*x2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2

f =
(x^2 + 1)^17

der5 =
34x(x^2 + 1)^16

f =
1/(t^3 + 3t^2 + 5t - 9)^6

der6 =
-(6*(3t^2 + 6t + 5))/(t^3 + 3t^2 + 5t - 9)^7
Shell以下是对上面示例的Octave写法 -pkg load symbolic
symbols
x=sym(“x”);
t=sym(“t”);
f = (x + 2)(x^2 + 3)
der1 = differentiate(f,x)
f = (t^2 + 3)(t^(1/2) + t^3)
der2 = differentiate(f,t)
f = (x^2 - 2x + 1)(3x^3 - 5x^2 + 2)
der3 = differentiate(f,x)
f = (2x^2 + 3x)/(x^3 + 1)
der4 = differentiate(f,x)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = differentiate(f,x)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5t -9)^(-6)
der6 = differentiate(f,t)
MATLAB指数，对数和三角函数的导数下表提供了常用指数，对数和三角函数的导数，例子
创建脚本文件并在其中键入以下代码 -syms x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3x^2 + 2*x + 1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)
MATLAB执行上面示例代码，得到以下结果 - y =
exp(x)
ans =
exp(x)

y =
x^9
ans =
9*x^8

y =
sin(x)
ans =
cos(x)

y =
tan(x)
ans =
tan(x)^2 + 1

y =
cos(x)
ans =
-sin(x)

y =
log(x)
ans =
1/x

y =
log(x)/log(10)
ans =
1/(x*log(10))

y =
sin(x)^2
ans =
2*cos(x)*sin(x)

y =

cos(3x^2 + 2x + 1)
ans =
-sin(3x^2 + 2x + 1)(6x + 2)

y =
exp(x)/sin(x)
ans =
exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2
Shell以下代码是上面代码的Octave写法 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(“x”);
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3x^2 + 2x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)
Shell计算高阶导数要计算函数f的较高导数，可使用diff(f，n)。 计算函数的二阶导数公式为 - f = xexp(-3x);
diff(f, 2)
MATLAB MATLAB执行上面代码将返回以下结果 - ans =
9xexp(-3x) - 6exp(-3*x)
Shell 以下是使用Octave重写上面示例，代码如下 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(“x”);
f = xExp(-3x);

differentiate(f, x, 2)
MATLAB 例子
在这个例子中，要解决一个问题。由给定函数y = f(x)= 3sin(x)+ 7cos(5x)，来找出方程f“+ f = -5cos(2x)是否成立。 创建脚本文件并在其中键入以下代码 - syms x
y = 3sin(x)+7cos(5x); % defining the function
lhs = diff(y,2)+y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5cos(2x); %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
disp(‘Yes, the equation holds true’);
else
disp(‘No, the equation does not hold true’);
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);
MATLAB 运行文件时，会显示以下结果 - No, the equation does not hold true
Value of LHS is:
-168cos(5*x)
Shell 以上是上面示例的Octave写法 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(“x”);
y = 3Sin(x)+7Cos(5x); % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5Cos(2*x); %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
disp(‘Yes, the equation holds true’);
else
disp(‘No, the equation does not hold true’);
end
disp('Value of LHS is: ‘), disp(lhs);
MATLAB 查找曲线的最大和最小值如果正在搜索图形的局部最大值和最小值，基本上是在特定地点的函数图上或符号变量的特定值范围内查找最高点或最低点。 对于函数y = f(x)，图形具有零斜率的图上的点称为固定点。 换句话说，固定点是f’(x)= 0。 要找到微分的函数的固定点，需要将导数设置为零并求解方程。 示例 要找到函数f(x)= 2x3 + 3x2 - 12x + 17的固定点 可参考以下步骤 - 首先输入函数并绘制图，代码如下 - syms x
y = 2x^3 + 3x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y)
MATLAB 执行上面示例代码，得到以下结果 - 以上是上面示例的Octave写法 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(‘x’);
y = inline(“2x^3 + 3x^2 - 12*x + 17”);

ezplot(y)
print -deps graph.eps
MATLAB 我们的目标是在图上找到一些局部最大值和最小值，假设要找到图中间隔在[-2,2]的局部最大值和最小值。参考以下示例代码 - syms x
y = 2x^3 + 3x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])
MATLAB 执行上面示例代码，得到以下结果 - 以下是上面示例的Octave写法 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(‘x’);
y = inline(“2x^3 + 3x^2 - 12*x + 17”);

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps
MATLAB 接下来，需要计算导数。 g = diff(y)
MATLAB MATLAB执行代码并返回以下结果 - g =

6x^2 + 6x - 12
Shell 以下是上面示例的Octave写法 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(“x”);

y = 2x^3 + 3x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
MATLAB 接下来求解导数函数g，得到它变为零的值。 s = solve(g)
MATLAB MATLAB执行代码并返回以下结果 - s =
1
-2
Shell 以下是上面示例的Octave写法 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(“x”);

y = 2x^3 + 3x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])
MATLAB 这与我们设想情节一致。 因此，要评估临界点x = 1，-2处的函数f。可以使用subs命令替换符号函数中的值。 subs(y, 1), subs(y, -2)
MATLAB MATLAB执行代码并返回以下结果 - ans =
10
ans =
37
Shell 以下是上面示例的Octave写法 - pkg load symbolic
symbols

x = sym(“x”);

y = 2x^3 + 3x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])

subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)
MATLAB 因此，在间隔[-2,2]中函数f(x)= 2x^3 + 3x^2 - 12x + 17的最小值和最大值分别为10和37。 求解微分方程MATLAB提供了用于求解微分方程的dsolve命令。 找到单个方程的解的最基本的dsolve命令形式是 - dsolve(‘eqn’)
MATLAB 其中eqn是用于输入方程式的文本串。 它返回一个符号解，其中包含一组任意常量，MATLAB标记C1，C2等等。
还可以为问题指定初始和边界条件，以逗号分隔的列表遵循以下公式： dsolve(‘eqn’,‘cond1’, ‘cond2’,…)
为了使用dsolve命令，导数用D表示。例如，像f’(t)= -2 * f + cost(t)这样的等式输入为 - ‘Df = -2f + cos(t)’
较高阶导数由D导数的顺序表示。 例如，方程f"(x) + 2f’(x) = 5sin3x应输入为 - 'D2y + 2Dy = 5sin(3x)’
下面来看一个一阶微分方程的简单例子：y’= 5y。 s = dsolve('Dy = 5y’)
MATLAB执行代码并返回以下结果 - s =
C2exp(5t)
Shell 再来一个二阶微分方程的例子：y“-y = 0，y(0)= -1，y’(0)= 2。 dsolve(‘D2y - y = 0’,‘y(0) = -1’,‘Dy(0) = 2’)
MATLAB MATLAB执行代码并返回以下结果 - ans =
exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2@TOC

欢迎使用Markdown编辑器

你好！ 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章，了解一下Markdown的基本语法知识。

新的改变

我们对Markdown编辑器进行了一些功能拓展与语法支持，除了标准的Markdown编辑器功能，我们增加了如下几点新功能，帮助你用它写博客：

1. 全新的界面设计 ，将会带来全新的写作体验；
2. 在创作中心设置你喜爱的代码高亮样式，Markdown 将代码片显示选择的高亮样式 进行展示；
3. 增加了 图片拖拽 功能，你可以将本地的图片直接拖拽到编辑区域直接展示；
4. 全新的 KaTeX数学公式 语法；
5. 增加了支持甘特图的mermaid语法¹ 功能；
6. 增加了 多屏幕编辑 Markdown文章功能；
7. 增加了 焦点写作模式、预览模式、简洁写作模式、左右区域同步滚轮设置 等功能，功能按钮位于编辑区域与预览区域中间；
8. 增加了 检查列表 功能。

功能快捷键

撤销：Ctrl/Command + Z
重做：Ctrl/Command + Y
加粗：Ctrl/Command + B
斜体：Ctrl/Command + I
标题：Ctrl/Command + Shift + H
无序列表：Ctrl/Command + Shift + U
有序列表：Ctrl/Command + Shift + O
检查列表：Ctrl/Command + Shift + C
插入代码：Ctrl/Command + Shift + K
插入链接：Ctrl/Command + Shift + L
插入图片：Ctrl/Command + Shift + G

合理的创建标题，有助于目录的生成

直接输入1次#，并按下space后，将生成1级标题。
输入2次#，并按下space后，将生成2级标题。
以此类推，我们支持6级标题。有助于使用TOC语法后生成一个完美的目录。

如何改变文本的样式

强调文本 强调文本

加粗文本 加粗文本

标记文本

删除文本

引用文本

H₂O is是液体。

2¹⁰ 运算结果是 1024.

插入链接与图片

链接: link.

图片:

带尺寸的图片:

居中的图片:

居中并且带尺寸的图片:

当然，我们为了让用户更加便捷，我们增加了图片拖拽功能。

如何插入一段漂亮的代码片

去博客设置页面，选择一款你喜欢的代码片高亮样式，下面展示同样高亮的 代码片.

// An highlighted block
var foo = 'bar';

生成一个适合你的列表

• 项目
  • 项目
    • 项目

1. 项目1
2. 项目2
3. 项目3

• 计划任务
• 完成任务

创建一个表格

一个简单的表格是这么创建的：

项目	Value
电脑	$1600
手机	$12
导管	$1

设定内容居中、居左、居右

使用:---------:居中
使用:----------居左
使用----------:居右

第一列	第二列	第三列
第一列文本居中	第二列文本居右	第三列文本居左

SmartyPants

SmartyPants将ASCII标点字符转换为“智能”印刷标点HTML实体。例如：

TYPE	ASCII	HTML
Single backticks	'Isn't this fun?'	‘Isn’t this fun?’
Quotes	"Isn't this fun?"	“Isn’t this fun?”
Dashes	-- is en-dash, --- is em-dash	– is en-dash, — is em-dash

创建一个自定义列表

Markdown

Text-to- HTML conversion tool

Authors

John

Luke

如何创建一个注脚

一个具有注脚的文本。²

注释也是必不可少的

Markdown将文本转换为 HTML。

KaTeX数学公式

您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

Gamma公式展示 $\Gamma (n)=(n-1)!\forall n\in \mathbb{N}$ 是通过欧拉积分

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$$

你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式here.

新的甘特图功能，丰富你的文章

Mon 06 Mon 13 Mon 20 已完成 进行中 计划一 计划二 现有任务 Adding GANTT diagram functionality to mermaid

• 关于 甘特图 语法，参考 这儿,

UML 图表

可以使用UML图表进行渲染。 Mermaid. 例如下面产生的一个序列图：:

张三 李四 王五 你好！李四, 最近怎么样? 你最近怎么样，王五？ 我很好，谢谢! 我很好，谢谢! 李四想了很长时间, 文字太长了 不适合放在一行. 打量着王五... 很好... 王五, 你怎么样? 张三 李四 王五

这将产生一个流程图。:

链接

长方形

圆

圆角长方形

菱形

• 关于 Mermaid 语法，参考 这儿,

FLowchart流程图

我们依旧会支持flowchart的流程图：

Created with Raphaël 2.2.0 开始 我的操作 确认？ 结束 yes no

• 关于 Flowchart流程图 语法，参考 这儿.

导出与导入

导出

如果你想尝试使用此编辑器, 你可以在此篇文章任意编辑。当你完成了一篇文章的写作, 在上方工具栏找到 文章导出 ，生成一个.md文件或者.html文件进行本地保存。

导入

如果你想加载一篇你写过的.md文件或者.html文件，在上方工具栏可以选择导入功能进行对应扩展名的文件导入，
继续你的创作。

---

1. mermaid语法说明 ↩︎

2. 注脚的解释 ↩︎