POJ 3308 Paratroopers

问题：二分图的最小点权覆盖集
思路：
1.构造二分图：分别把行、列的编号看成集合X={r1,r2...}、Y={c1,c2...}，把每个人所在的位置（ri,ci）连线ri 、ci；这样就构成了一个二分图，点为行、列的顺序编号1~r+c，边则是人所在的位置（可以代表这个人）。

2.构造二分网络流图：分别添加源点S、汇点T，建立S->X的各个边，容量为该行ri的费用，反向为0；建立Y ->T的各个边，容量为该列ci的费用，反向为0；把所有X->Y的边的容量设为无穷大，反向为0。

3.求最大流，有时还需要求出最小割中的各个割边的容量（或者是对应的点ri or ci）。

 

注意：product在这里译为“乘积”，所以本题求的是各个cost的乘积的最小值，那么需转换成求最小和；建图
时流量为log(cost)即对各个cost求自然对数；再求出最大流maxflow，最后exp(maxflow)即e^maxflow；
a*b*c=e^(loga+logb+logc);还有精度的问题，要用double。

 

粗略理解：
为什么所求的最大流就是最小点权？
对二分图建立网络流图，他用了贪心的思想，对于X、Y中的点xi、yi：
若为1:1即只有一条边的情况，那么他选择的是S->x和y->T中较小的容量即选择了点权较小的点；
若为1:m即有多条边的情况，那么他选择的是S->x和y1->T+y2->T+...+yn->T中较小的容量；
若为m:1即有多条边的情况，那么他选择的是......较小的容量；
但是真实情况中，不像上边那么单纯，而是各种单纯的各种混合；但关键的一点不变：贪心的思想，选最小 的点权！更重要的是：对于每一种单纯情况的抉择后，不仅较小的点权的值更新为0，那么较大点权的也要 更新（减去较小的点权，这里所说的点权就是网络流图中的容量（S->x、y->T），为了便于说明）！这就保 证了不重选且最小！
概括地说：对于X，Y中的每一条边（x--y），若想覆盖掉这条边，则必须选择点x、y中之一才能覆盖之，别无他法 ！所以肯定选择最小点权的点，并更新这两个点权的值——为了较大点权的点的再与别的点的选择时，必须建立在更新的基础上，不然就重选了！
为什么所求的各个点一定覆盖所有的边？
首先对于求完最大流的残留图，最小割的各个割边一定在S->X、S->Y中；如果你说从割边上选择的点不一定能覆盖所有点，也就是存在一条边e(x-y)的两个点x,y都不在割边上，那也就是说存在一个可行流S->x->y->T！而最大流是不存在可行流的！所以.....

View Code

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <memory.h>

#define N 102
#define M 1202
#define MAXVAL (1e+6)//本题相当于e^10^6>2^10^6的数字啊

int r,c,m,s,t;
int nodevp[N];
int nodeu[M],next[M],ind;
double flow[M];

void addedge(int v,int u,double val)
{
    nodeu[ind]=u;
    flow[ind]=val;
    next[ind]=nodevp[v];
    nodevp[v]=ind++;
}

void getDataAndBuildGraph()
{
    int i,v,u;
    double cost;

    scanf("%d %d %d",&r,&c,&m);    s=0; t=r+c+1;
    memset(nodevp,-1,sizeof(nodevp)); ind=0;
    for(i=1;i<=r;i++)
    {
        scanf("%lf",&cost);
        addedge(s,i,log(cost));
        addedge(i,s,0.0);
    }
    for(  ;i<t;i++)
    {
        scanf("%lf",&cost);
        addedge(i,t,log(cost));
        addedge(t,i,0.0);
    }
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d %d",&v,&u);
        addedge(v,u+r,MAXVAL);
        addedge(u+r,v,0.0);
    }
}

int dist[N],cur[N],pre[N],cnt[N];
double SAP()
{
    int i,v,u; 
    double minflow,maxflow=0;

    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    memset(dist,0,sizeof(dist));
    memcpy(cur,nodevp,sizeof(nodevp));
    cnt[0]=t+1;    v=s;

    while(1)
    {
        for(i=cur[v]; ~i ;  )
        {
            u=nodeu[i];
            if(flow[i]>0 && dist[v]==dist[u]+1)
            {
                cur[v]=i;    pre[u]=v;
                if(minflow>flow[i])    minflow=flow[i];
                if(u==t)
                {
                    maxflow+=minflow;
                    while(u)
                    {
                        u=pre[u];
                        flow[cur[u]]-=minflow;
                        flow[cur[u]^1]+=minflow;
                    }
                    minflow=MAXVAL;
                }
                v=u;    i=cur[v];
            }
            else    i=next[i];
        }
        
        if(--cnt[dist[v]] == 0)    break;
        for(dist[v]=t,i=nodevp[v];~i;i=next[i])
        {
            u=nodeu[i];
//刚调试到这的时候，我一看就发现少了个条件flow[i]>0，但是我没停止就是想看看，到底是怎么错的...
//            if(dist[v]>dist[u])//好吧，问题就出现在这里!!死循环!!调试用时30min+...
//好吧，既然已经浪费了很多时间，也不多这一会儿!来，咱们来看看是怎么回事
//刚开始没问题.....这时是：dist[S]=3,dist[3]=2,dist[7]=1,dist[T]=0; s->3->7->T存在一条增广路!
//更新完流量后，7->T之间的流量变为0;然后又回到S，仍从S->3这条线找，因为cur[S]记录了S->3边；
//从3->7,7无路可走，只好重新标号!注意错误就出现在这里：标完号，7的标号仍是1!很显然应该是3，因为
//7->T走不通!这里没有了这个flow[i]>0的判断，直接把dist[7]又变回了1;然后回到3,3->7,7无路可走，只好
//重新标号，标完号dist[7]仍是1;然后又回到了3.......就这样死循环!!!!
//啊! 累死哥们了！这尼玛伤不起，为找这个死循环，费了巨大的脑力（人脑没法跟电脑比!），1h+的时间!!
            if(flow[i]>0 && dist[v]>dist[u])
                dist[v]=dist[u],cur[v]=i;
        }
        dist[v]++;    cnt[dist[v]]++;
        if(v==s)    { if(dist[s]>t) break; minflow=MAXVAL; }
        else    v=pre[v];
    }

    return maxflow;
}

//int flag[N];
//void DFS(int v)
//{
//    int i;
//    flag[v]=1;
//    for(i=nodevp[v];~i;i=next[i])
//        if(flow[i]>0 && !flag[nodeu[i]])
//            DFS(nodeu[i]);
//}

void solve()
{
    int cas;
//    double ans;
    for(scanf("%d",&cas); cas ; cas--)
    {
        getDataAndBuildGraph();
        printf("%.4lf\n",exp(SAP()));
//        printf("%.4f\n",SAP());
//        memset(flag,0,sizeof(flag));
//        DFS(s);
        
//        ans=1.0;
//        for(i=1;i<=r;i++)
//            if(!flag[i])    ans*=cost[i];
//        for(   ;i< t;i++)
//            if( flag[i])    ans*=cost[i];
//        printf("%.4lf\n",ans);
    }
}

int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    
    solve();

    return 0;
}

 

心理历程：
这尼玛坑死爹了啊！读题的时候都开始蛋疼！
就是这句：the total cost of constructing a system firing all guns simultaneously is equal to the product of their costs. 我日尼玛啊！坑死爷们了啊！当时怎么读就是觉得不顺！如果翻译成：求最小的消费，那么他为什么要product of their costs呢？怎么都不顺！他们消费的产品？这尼玛啥意思啊？！考！！郁闷！不管了！就当是求最小消费！可是样例输出怎么与我求的对不住？按说是8.000啊，怎么会是16.0000！晕死！难不成是求最大的、那不可能！难不成是cost*行号或列号、那也不对！难道是我行列弄反了、反过来还是8.000啊 ！这。。。可能还是那句话没翻译好？我又去翻译那句话。。。就是尼玛看不懂product of their costs！！就 这反复、轮回的去想。。期间我又找人帮我翻译。。等等。。上午结束了。。。没有结果。。。下午继续搞。。8.0000*2=16.0000这个对吧，难道是要求最大流*2。好吧，我就这样做吧，比照着二分图的最小点权覆盖集的模型去建图（因为我就是搜得这个专题）。。那这题。。那不是比那个2125简单啊，不用求最小割的各个割边容量（或者是点）呵，那这建完图整个SAP不就可以了。。好的~想想……敲代码！！敲完，测试，结果错了，看了几遍代码看不出来，无奈很不想调试的去调试了，很快找到了SAP中某地方少了一个条件，代码中有详解，可是我不甘心，想看看它怎么是程序失败。。继续调，调了半个多钟头、终于发现就是少一个条件而造成死循环。啊，累死了，整个过程足有1个小时。。在测试，成功！（真SB，printf("%d",SAP()*2);真尼玛搞笑），好吧submit，果断WA，在提交，依然WA！。。。我日你嘛啊，哥哥实在是木法了，Only search answer！有了一个惊天的发现：product翻译成“乘积”，我考，这、、、还有这个意思？从未听说！！好吧，求乘积！那。。。求最大流，求的是最小和啊！那我求出，最小割中的各个容量的乘积？那不对吧？若a+b+c最小，a*b*c就最小？这不对！那。。。有啥法啊？这尼玛让求乘积最小。。这木法。。这确实木法！Again look answer 发现是：先求各个cost的log，在对求出的和（最大流）exp运算！这尼玛什么情况 ？我想了想。。a*b*c=e^(loga+logb+logc) 。。(⊙o⊙)…对啊，我去，这谁尼玛真牛B呀，求乘积的最小值转化成求log和的最小值！额，也许大家都经常用呵，你懂的，我很水嘛！考，最终在源代码上，建图的时候加了log，在SAP外加个exp！我表示这两个函数貌似是我第一次用！！O(∩_∩)O哈哈~，我很无敌吧！！额，此时的代码已改的面目全非！蛋液碎了一地！