高阶导数习题

已知$y=(2x-1{)}^5(3x+7{)}^7$，则$y^{(12)}=\underline{}$，$y^{(13)}=\underline{}$

解题思路：这道题看上去很吓人，再一看就能发现要求的导数的求导次数都大于等于$x$的最高次数，所以我们只需要求出$x$的最高次数的系数，其余的系数都不需要求

解：
设$y=\sum _{k=0}^{12}{a}_k{x}^k$
则$y^{(12)}=\sum _{k=0}^{12}(a_k{x}^k{)}^{\prime }$
$\because$ 当$k<n$时，$(x^k{)}^{(n)}=0$
$\therefore y^{(12)}=(a_{12}{x}^{12}{)}^{(12)}=a_{12}(x^{12}{)}^{(12)}=a_{12}\times 12!$
$\because y=(2x-1{)}^5(3x+7{)}^7$
$\therefore a_{12}=2^5\times 3^7$
$\therefore y^{(12)}=2^5\times 3^7\times 12!$，$y^{(13)}=(y^{(12)}{)}^{\prime }=0$