【数学模拟卷总结】2022李林四套卷数学二第一套

题目复盘

写这个系列也是为了逼着自己做总结

1. 中规中矩，泰勒写开就行

2. 分段函数写明白就能选出正确的

3. 这题答案有点麻烦了，其实画图就能看明白，我在做这个题目的时候也做麻烦了，看到二阶导数就用思维定式想到二阶泰勒公式，展到二阶的拉格朗日余项版本的泰勒公式也能把这个题做出来，就是繁琐，做题时间太长
   按题意画个图就排除了
   

4. 答案那个直接算，我是先定参数$a$，瑕点只有无穷远，先进行整理得$I={\int }_0^{+\infty }\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}-\frac{a}{x+2}\right)dx={\int }_0^{+\infty }\frac{x+2-a\sqrt{x^2+4}}{(x+2)\sqrt{x^2+4}}dx$
   当$x$趋近于正无穷时，$I$等价于P积分：${\int }_c^{+\infty }\frac{(1-a)x}{x^2}dx$，为了保证其收敛，只能让$a=1$（此时$p=2>1$，收敛），如果$a$为非1常数，那么这个P积分就发散了，确定$a=1$后正常计算即可得出答案。

5. 第五题直接根据题给条件写出函数表达式为$f(x)=\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x^2}\times \frac{x^2}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}$，然后根据无穷等比递降数列求和公式按幂级数展开得$f(x)=1+(-x^2)\times 1+(-x^2{)}^2\times 1+......=1-x^2+x^4+.....$，题目要求展到二次，故答案为$1-x^2$（可以参考：王谱老师的“一减疯猴”法），即可得到答案。

6. 按导数定义求在（0,1）点的$f(x)$的关于$x$和$y$的偏导数，需要注意的一点是$f(0,1)=0$且$f(0,y)=0$（都是真正的0，不是无穷小），故$(0,1)$点对y的偏导数的极限形式$f_y^{{}^{\prime }}(0,1)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(0,y)-f(0,1)}{y-0}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{0-0}{y}=0$是存在的，如法炮制$f_x^{{}^{\prime }}(0,1)=1$，故$dz=1\times dx+0\times dy=dx$

7. 这是一个二阶可降阶的微分方程，可令$y_{{}^{\prime }}=P$，则$y_{{}^{\prime \prime }}=P\frac{dP}{dy}$，得$P^2-yP\frac{dP}{dy}=P(P-y\frac{dP}{dy})$，这里有个小细节，要注意讨论$P=0$的情况，但是在这个题里不讨论也能选出正确选项，我就在模拟考试时忘了讨论，当$P=0$时，$y_{{}^{\prime }}=0$，故$y=C$，$C$为任意常数，另外的情况按一阶微分方程解即可

8. 线性代数经典结论，知道$n$维实列向量$\mathbf{\alpha }$有这样的关系：${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=C$，$C$为非0常数，则矩阵$\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$为实对称矩阵，其特征值为$C,0,...,0$，其可相似对角化于$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& ...& 0\\ 0& 0& ...& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，则$r\left(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\right)=1$，题中${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=2$所以实对称矩阵$\mathbf{E}-2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$有特征值为$1-4,1-0,...,1-0$即$-3,1,...1$，故$r\left(\mathbf{E}-2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}\right)=n$，所以$\mathbf{E}-2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}$可逆，设$\mathbf{C}=\mathbf{E}-2\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}$，则由$\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{B}$可知，$\mathbf{B}$的列向量组都可以被$\mathbf{A}$的列向量组线性表示，因为$\mathbf{C}$可逆，所以$\mathbf{B}{\mathbf{C}}^{-1}=\mathbf{A}$，故$\mathbf{A}$的列向量组都可以被$\mathbf{B}$的列向量组线性表示，相互线性表示就是列向量组等价。

9. 初等变化做一下就知道了，左右乘的两个初等矩阵不可逆（可以试一试相乘等不等于单位矩阵），但是这两个初等矩阵互为转置，那这就是合同的定义，然后再分别取行列式算一算就知道答案了。

10. 这里我选对了，但是我忘了重要结论，实对称矩阵加加减减还是实对称矩阵，实对称矩阵的逆矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵的伴随矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵的乘积不一定是实对称矩阵，反例比如：已知实对称矩阵$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$和实对称矩阵$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，则$\mathbf{A}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，显然它们的乘积不是实对称矩阵，实对称矩阵必可相似对角化，只有（B）选项那个乘积形式不一定是实对称矩阵，而且它们的乘积的矩阵也不一定有$n$个线性无关的特征向量，故它不一定能对角化，选（B）

11. 直接做就行，求导之后带入弧长公式，带入后需要简单化简一下，就要把那个$\sqrt{1+sin(\frac{x}{n})}$的被积函数，换个元，然后按二倍角公式将它展开成一个完全平方，方便开方，换元后积分区间变成了$(0,\pi )$，这样的话那两个三角函数在这和个区间的加和都是正的（$\frac{u}{2}$相当于把一个周期拉长了，如果看不懂再换个元就看出来了，令$t=\frac{u}{2}$，然后$t$的范围就变成了$(0,\frac{\pi }{2})$，这样$sint$和$cost$都是正的，直接开方即可）
    

12. 注意这个参数方程中$y$的参数方程需要还原后再求导，直接求不方便，剩下的就是计算准确性了。

13. ***这个好像是“永动机”方程（开玩笑），时间无穷大时这个质点才能停下，这个题主要是会观察零点，包括广义的零点，它的速度对时间的函数是$v(t)=\sqrt{t}{e}^t$，这一看有一个正常的零点$t=0$，还有一个广义零点$t⟶+\infty$，开始运动时速度为0，运动停止时速度也为0，开始时一定是$t=0$，再找另一个广义零点就OK了，好家伙，直接停不下来了是吧（卡其脱离太）这个题我做错了，我想到广义的零点了，但是我忘记了如果已知速度对时间的函数$v(t)$，则在$t_1$到$t_2$时刻内的路程应该是${\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$，我高中物理学的不好，模拟考试时直接对$tv(t)$积分了（这是错误的）。算这个积分要用到表格积分法，具体详见武忠祥老师讲表格积分法（表格积分法是陈文灯大师引进考研数学的）。重新复盘一遍如下：
    

14. 这个二重积分要换序，但是换序后发现$y$上下穿线的范围是反的，需要外面取个负号再换序，换序后就好算了

15. 答案直接两边按隐函数求导，我按隐函数求导法则做的，我的做法：
    
    答案的做法：
    
    我觉得我那种做法可能更不容易错吧，可惜这题不是求某点偏导数，要是能先代后求就好了。

16. ***这题我做错了，那个分块矩阵应该是$6\times 6$的，我按$3\times 3$展开行列式算了，相当于少乘了一个$(-2{)}^3$，重新复盘如下：
    
    【注】$\left|\begin{array}{ll}\mathbf{O}& \mathbf{B}\\ \mathbf{A}& \mathbf{C}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\mathbf{C}& \mathbf{B}\\ \mathbf{A}& \mathbf{O}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$，其中$\mathbf{A}$ 为$n$阶矩阵，$\mathbf{B}$ 为$m$阶矩阵

17. 这题是1的无穷大类型的极限，直接写成标准型然后算指数部分，算就完事了

18. ***我这题第二问做错了，题目说$a$是变的，我就以为这题需要带着$a$做参数写$x$和$y$关于$a$的参数方程，结果看了答案，这个拐点带$a$的形式带回函数能消掉参数$a$，且拐点一定在曲线上，这题也是形式凑巧，函数是$f(x)=x^{2}ln(ax)$，只需要将拐点$x=\frac{1}{a}{e}^{(-\frac{3}{2})}$带到函数的因子$ln(ax)$中就消掉了参数$a$，使得其变成方程$y=-\frac{3}{2}{x}^2$，我做的很麻烦，写出了$x$和$y$关于$a$的参数方程，然后再按$y$轴旋转的旋转体体积公式带入算错了，其实这旋转的体积，这题第一问就是求普通的极值点，第二问重新复盘如下：
    答案的做法比我的做法要巧妙很多，推荐答案这种做法即方法2带入消参，以后遇到这类题我要注意观察能否这样带入消参，顺带说一句，所有的负指数的幂函数都不要写成$1/f(x)$的形式，我就是写成这个形式结果按正指数的幂函数积分的，这种小细节真是……只能说我计算马虎，我要改。

19. ***这题我没算出来，模拟考试的时候，我看到这个题目构成的微分方程解起来很难算，解到两个距离相等，一个带绝对值，平方后不是常见的微分方程类型，就想先不算，做下面的题，结果答完卷子时间也就到了。我是没想到这个题开局居然要判断切线与$x$轴交点的位置是在$x$轴正半轴还是负半轴，重新复盘如下：
    
    
    19题是太恶心了，还要讨论这么多，技不如大佬啊$tr(me)<tr(大佬)$

20. ***又是一道算错数的题目，先解偏微分方程，比较常规，解完后带入二重积分表达式开始计算，发现要去掉绝对值需要分区域，区域我也画完了，就是单纯算错了，在计算期间为了简化计算还用了依次雅克比换元，这样就能利用积分区域的对称性和被积函数偶函数的性质二倍起来，可惜算错了（答案的做法也是很巧妙，直接利用降幂公式处理了三角函数，省去了函数复杂的形式），重新复盘如下：
    
    我的做法用了雅克比，然后换到了对称区间，计算量太大，要算吐了，复盘的时候算错了好几次，答案的做法较为巧妙简洁，就是跳步骤太多，我把步骤补上：
    妙用含有绝对值的三角函数的六个大连等式，$(0,\pi )$上，$sinx$是正的，开$\frac{3}{2}$次方要加绝对值，因为本质上是先3次方后开二次方，开二次方限定了要加绝对值，这题计算太恶心，还是要注意二倍角公式的正用和逆用，我算这个题用了20分钟，我算的方法不简洁耽误了时间，唉

21. ***这个题我没思路，我看到这个形式想在(0,1）区间试着用拉格朗日中值定理，看到最大值想到了介值定理，写了半天没写出来，看着考试快要结束，赶快去做了线代，现在重新复盘如下：
    这个中值定理复盘后发现还是比较常规的，只是我模考的时候紧张了，唉

22. ***第二问着急算错了，这个题就是利用正交矩阵的性质（列向量模长为1）然后求三个参数，最后要求化规范型，先观察第一问化成的标准型，直接令标准型的那个形式为z，然后反求一下就出来了，重新复盘如下：
    
    

总结

这套卷解答题计算量大，选填题不难，解答题的难度全靠计算量堆起来的，接下来还是主要练计算，复盘用时太长了，主要是那几个比较难算的题目算起来真的费时，也请什么秒杀党150党高分党远离这篇，我就是个普通人，做数学计算挺难的，以后还会自己做总结。