CSP-J2022 T2 解密

题面

思路

思路一：暴力枚举（歪解）

时间复杂度 $O(n^2)$ ，所以分数拿不全，$6$ 点超时。

// Author: PanDaoxi
#include 
#define int long long
using namespace std;

int k, n, e, d, p, q;
bool flag;

signed main(){
	ios :: sync_with_stdio(false);
	
	cin >> k;
	while(k--){
		cin >> n >> e >> d;
		flag = false;
		
		for(int i=1; i<=n; i++){
			if(n % i) continue;
			p = i, q = n / i;
			
			if(e*d == n - q - p + 2){
				if(p > q) swap(p, q);
				cout << p << " " << q << endl;
				flag = true;
				break;
			}
		}
		
		if(!flag) cout << "NO" << endl;
	}
	
	return 0;
}

思路二：数学（正解）

知识：

• 完全平方公式： $(a\pm b{)}^2=a^2+b^2\pm 2ab.$
• 简单的应用： $(a+b{)}^2-4ab=(a-b{)}^2.$

由题意我们可得 $n=qp$，$ed=(q-1)(p-1)+1=qp-q-p+2=n-q-p.$
我们令 $a=n+2-ed=q+p.$
利用完全平方公式，我们令 $b=\sqrt{a^2-4n}=\sqrt{(q-p{)}^2}=q-p.$
无论 $p$ 和 $q$ 的大小关系如何，$(q+p{)}^2,(q-p{)}^2\ge 0.$

根据二元一次方程组的加减消元法（即小学数学“和差问题”），我们可以得出 $q$ 和 $p$ 的具体数值。
$\text{int (long long)}$ 类型会自动把上文所述 $b$ 的值向下取整，那么如果开平方没有开尽，$qp$ 自然不会与 $n$ 相等，即 $\lfloor qp\rfloor \ne n$，说明这种情况无解。

// Author: PanDaoxi
#include 
#define int long long
using namespace std;

int k, n, e, d, p, q, a, b;

signed main(){
	ios :: sync_with_stdio(false);

	cin >> k;
	while(k--){
		cin >> n >> e >> d;

        a = n + 2 - e*d; // a = p + q
		b = sqrt(a*a - 4*n); // b = p - q;
		p = (a + b) / 2;
		q = a - p;

		if(p*q == n){ // 相乘得原数
			if(p > q) swap(p, q);
			cout << p << " " << q << endl;
		}
		else{
			cout << "NO" << endl;
		}
	}

	return 0;
}