搞懂三个应用概率耦合方法的经典实例
搞懂三个应用概率耦合方法的经典实例
- 概述
- 实例一：随机行走
- 实例二：偏性掷硬币
- 实例三：随机数字游戏
学前班的小朋友问我概率耦合是什么，我搜了搜，发现有点意思，刚好博客又没人写，所以就有了下文。。。
概述
概率耦合（probability coupling）是一种方法或者说技巧，处理的对象是相互独立的随机变量，在不改变随机变量的分布前填下，赋予随机变量之间依赖关系。其本质是提炼了独立随机变量之间某些属性的数值关系，讲这种数值关系变成依赖关系。类似时间换空间。下面将给出三个具体的例子，最后一个例子附有python代码实现。
实例一：随机行走
著名的随机行走模型有许多实际应用，如高分子链模型去算回旋半径，其实也是因为这个模型基于对自然现象：布朗运动。现在我们就以随机行走这个模型来说明概率耦合。假设有一个粒子在棋盘上随机行走，有一面镜子，镜子中的棋子的行走完全是这个棋子的镜像。或者说完全依赖于这个真实棋子的行走。但是我们分开来观察的话就好像都是独立地在随机行走。类似于两个独立的随机行走模型，虽然他们之间是相互依赖的，但是我们只关心他们的属性，即是不是都在随机行走。
实例二：偏性掷硬币
现有两个有偏差的硬币A，B，A硬币出现正面的概率是p,B硬币出现正面的概率是q,
且q>p,现在这两枚硬币出现正面的事件是相互独立的。也就是说即使B硬币比A硬币出现正面的几率大，但是在同时投掷这两枚硬币也很有可能出现A是正面而B是背面的情况。那么如何把这两个独立事件转换成相互依赖的事件并表现出q>p的关系呢
下面介绍两种等价的方法。
- X代表一系列抛掷A硬币的实验，X=1：代表正面，X=0：代表反面，Y也是代表一类实验，且当X=1时，Y=1，X=0时，Y有(q-p)/(1-p)的概率取值为1。简单计算可以得到Y的概率分布和B硬币是一致的。有上述规则可以看出1）Y依赖于X ；2）X是正面是Y一定是正面
1 × p + ( 1 − p ) × q − p 1 − p = q 1\times p+ (1-p)\times\frac{q-p}{1-p}=q 1×p+(1−p)×1−pq−p=q - 同上， X代表一系列抛掷A硬币的实验，X=1：代表正面，X=0：代表反面，Y代表一系列抛掷B硬币的实验，设计一个新的硬币C，C有(q-p)/(1-p)的概率出现正面。Z代表一系列抛掷C硬币的实验。现在同时抛A，C两枚硬币，由于A，C出现正面是相互独立的事件。由于 q = 1 × p + ( 1 − p ) × q − p 1 − p q=1\times p+ (1-p)\times\frac{q-p}{1-p} q=1×p+(1−p)×1−pq−p,可得下式，也可以得到和上面一样的结论。
Y = X ∪ Z Y=X\cup Z Y=X∪Z
实例三：随机数字游戏
游戏规则;假设有100个格子被0-9的数字随机填充。然后两个人开始的时候随机从面前的10个格子里面选一个格子，并向前走格子上的数目步（如果是0则走10步）。重复之，一直到走过终点，记录最后一个走到的数字。这里提前剧透一下，这两个人最后走的数字是相同的概率97.4%，这个概率其实是格子数的函数，格子越多，这个概率月接近于1。听到这个结果是不是感觉这么随机的一个实验，怎么确有一个这么必然的结果呢，读者们可以联系概率耦合的概念好好想想，反正我是没想明白，但是我做了下面的实验验证了确实如此。
- 生成100个0~9随机数填充格子（代码中的10代替0）
import random
count_num = 200
def generate_list():
num_list = []
for i in range(0,count_num):
randint = random.randint(1, 10)
num_list.append(randint)
return num_list
- 模拟实验
def play(num_list):
begin = random.randint(1, 10)
present_posi = begin
while present_posi < count_num:
present_num = num_list[present_posi-1]
present_posi = present_posi + present_num
#print(present_num)
return present_num
- 重复100次实验，注意是用同一个随机生成的100个数字
for i in range(100):
print(play(num_list))
- 实验结果
- 100个随机数字相同的概率不是百分百，可从实验观察到对于有些随机生成的100个数字，最后落在数字的不一定相同。
for j in range(10):
num_list=generate_list()
init = play(num_list)
for i in range(100):
last_hit = play(num_list)
if last_hit != init:
print(last_hit)