梯度下降算法原理笔记--机器学习
梯度下降算法原理整理笔记–机器学习
最近在看一些梯度下降的知识，看到头蒙，今天来整理一下一些相关知识，以至于后续便于理解。
机器学习中我们常见梯度下降这个名词，但是什么是梯度下降呢？梯度下降又是干嘛的呢？网上一大堆文章最后也没看懂什么，今天刚好想着整理一下，借鉴着别人的一些看法和知识梳理一下自己的思路。
1.什么是梯度下降？
梯度下降可以把梯度和下降分开来说。
首先理解什么是梯度？通俗来说，梯度就是表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得较大值，即函数在当前位置的导数。所以我们可以把梯度理解为导数（对于多元函数则可以理解为偏导），所以我们也可以把梯度下降理解为导数下降。所以梯度下降就是表示某一函数在该点处的相反方向，导数沿着该反方向取得较小值时的自变量对应取值。
某一函数就是我们接下来会用到的损失函数（loss/cost function)，也叫做误差函数。
同一个损失函数的两个参数设置的不同，会产生不同的拟合曲线，最后的结果（误差）也不相同。
损失函数就是一个自变量为算法的参数，函数值为误差值的函数。所以梯度下降就是找让误差值最小的时候算法取的参数。
梯度下降的两个参数：（斜率，终止条件之变化量）。
算法的终止条件：一迭代次数，二可以是变化量。
2.基本思想
假设我们爬山，如果想最快的上到山顶，那么我们应该从山势最陡的地方上山。也就是山势变化最快的地方上山。
同样，如果从任意一点出发，需要最快搜索到函数最大值，那么我们也应该从函数变化最快的方向搜索。
函数变化最快的方向是什么呢？
函数的梯度。
如果函数为一元函数，梯度就是该函数的导数。
如果为二元函数，梯度定义为：
如果需要找的是函数极小点，那么应该从负梯度的方向寻找，该方法称之为梯度下降法。
要搜索极小值C点，在A点必须向x增加方向搜索，此时与A点梯度方向相反；在B点必须向x减小方向搜索，此时与B点梯度方向相反。
总之，搜索极小值，必须向负梯度方向搜索。
3.梯度下降法-步骤
假设函数y=f(x1,x2,…,xn) 只有一个极小点。
初始给定参数为 X0=(x10,x20,…,xn0)。从这个点如何搜索才能找到原函数的极小值点？
方法
1.首先设定一个较小的正数η,ε.
2.求当前位置处的各个偏导数：
3.修改当前函数的参数值，公式如下：
4. 如果参数变化量小于ε，退出；否则返回2。
4.一元线性回归函数推导过程
设线性回归函数： y ^ = w x + b \hat{y}=wx+b y^=wx+b
构造损失函数（loss）：
L ( w , b ) = 1 2 n ∑ i = 1 n ( w x i + b − y i ) 2 L(w,b)=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}(wx_{i}+b-y_{i})^{2} L(w,b)=2n1i=1∑n(wxi+b−yi)2
思路：通过梯度下降法不断更新 和 ，当损失函数的值特别小时，就得到 了我们最终的函数模型。
过程：
step1.求导：
step2.更新 Θ 0 \Theta_{0} Θ0和 Θ 1 \Theta_{1} Θ1：
step3.代入损失函数，求损失函数的值，若得到的值小于 ε \varepsilon ε（一般为0.01或 者0.001这样的小数），退出；否则，返回step1。
5.梯度下降存在的问题
∙ \bullet ∙当靠近极小值时收敛速度减慢；
∙ \bullet ∙直线搜索时可能会产生一些问题；
∙ \bullet ∙下降过程可能会出现“之字形”地下降。
6 梯度下降三兄弟（BGD，SGD， MBGD）
6.1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
批量梯度下降法每次都使用训练集中的所有样本更新参数。它得到的是一 个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果m很大，那么迭代速度就会变得很慢。
优点：可以得出全局最优解。
缺点：样本数据集大时，训练速度慢。
6.2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
随机梯度下降法每次更新都从样本随机选择1组数据，因此随机梯度下降比 批量梯度下降在计算量上会大大减少。
SGD有一个缺点是，其噪音较BGD 要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。而且SGD因为每 次都是使用一个样本进行迭代，因此最终求得的最优解往往不是全局最优 解，而只是局部最优解。但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的 结果往往是在全局最优解附近。
优点：训练速度较快。
缺点：过程杂乱，准确度下降。
6.3小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）
小批量梯度下降法对包含n个样本的数据集进行计算。综合了上述两种方 法，既保证了训练速度快，又保证了准确度。
7.例题
说的再多不如来道实际的例题看的明白，接下来请看题：
例1：任给一个初始出发点，设为x0=-4，利用梯度下降法求函数y=x2/2-2x的极小值。
接下来是python代码实现：
``# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return (np.power(x, 2)/2-2*x)
def d_f_1(x):
return x-2
def d_f_2(f, x, delta=1e-4):
return (f(x+delta) - f(x-delta)) / (2 * delta)
#plot the function
xs = np.arange(-8, 12)
plt.plot(xs, f(xs))
plt.show()
learning_rate = 0.9
max_loop = 30
x_init = -4
x = x_init
lr = 0.01
for i in range(max_loop):
# d_f_x = d_f_1(x)
d_f_x = d_f_2(f, x)
x = x - learning_rate * d_f_x
print(x)
print('initial x =', x_init)
print('arg min f(x) of x =', x)
print('f(x) =', f(x))