深度学习入门（十一）权重衰减

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权重衰退

最常见的处理过拟合的方法。添加了惩罚项，要是目标函数仍是原来的值的话，权重w的值就要相应变小。

前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。 我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

回想一下，在多项式回归的例子中， 我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。 实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。 然而，简单地丢弃特征对于这项工作来说可能过于生硬。 我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。 多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials）， 也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。 例如，$x_1^2{x}_2$和$x_3{x}_5^2$都是3次单项式。

注意，随着阶数$d$的增长，带有阶数$d$的项数迅速增加。 给定$k$个变量，阶数为$d$的项的个数为$C_{k-1+d}^{k-1}$。因此即使是阶数上的微小变化，比如从2到3，也会显著增加我们模型的复杂性。 仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊， 我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为$L_2$正则化。 这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度， 因为在所有函数$f$中，函数$f=0$（所有输入都得到值） 在某种意义上是最简单的。 但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？ 没有一个正确的答案。 事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

一种简单的方法是通过线性函数$\mathbf{f}(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}$中的权重向量的某个范数来度量其复杂性， 例如$||\mathbf{w}|{|}^2$。 要保证权重向量比较小， 最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。 将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失， 调整为最小化预测损失和惩罚项之和。 现在，如果我们的权重向量增长的太大， 我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数$||\mathbf{w}|{|}^2$。 这正是我们想要的。 让我们回顾一下线性回归例子。 我们的损失由下式给出
$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$
回想一下，${\mathbf{x}}^{(i)}$是样本$i$的特征， ${\mathbf{y}}^{(i)}$是样本$i$的标签， $(\mathbf{w},b)$是权重和偏置参数。 为了惩罚权重向量的大小， 我们必须以某种方式在损失函数中添加$||\mathbf{w}|{|}^2$， 但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？ 实际上，我们通过正则化常数来描述这种权衡， 这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：
$$L(\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}||\mathbf{w}|{|}^2$$
对于$\lambda =0$，我们恢复了原来的损失函数。 对于$\lambda >0$，我们限制$||\mathbf{w}|{|}^2$的大小。 这里我们仍然除以2：当我们取一个二次函数的导数时， 2和$\frac{1}{2}$会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。 你可能会想知道为什么我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？ 我们这样做是为了便于计算。 通过平方$L_2$范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

此外，你可能会问为什么我们首先使用$L_2$范数，而不是$L_1$范数。 事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。$L_2$ 正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法，$L_1$正则化线性回归是统计学中类似的基本模型， 通常被称为套索回归（lasso regression）。 使用$L_2$ 范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。 这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。 相比之下，$L_1$惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上， 而将其他权重清除为零。 这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

$L_2$正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式

$$\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \left(1-\eta \lambda \right)\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right).\end{array}$$

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新$\mathbf{w}$。 然而，我们同时也在试图将$\mathbf{w}$的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。 我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。 与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。 较小的值对应较少约束的$\mathbf{w}$， 而较大的值对$\mathbf{w}$的约束更大。

是否对相应的偏置$b^2$进行惩罚在不同的实践中会有所不同， 在神经网络的不同层中也会有所不同。 通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

使用均方范数作为硬性限制（不常用）

通过限制参数值的选择范围来控制模型容量
$\min \ell (\mathbf{w},b)subjectto||w|{|}^2\le \theta$
通常不限制偏移$b$ (限不限制都差不多)
小的$\theta$意味着更强的正则项

使用均方范数作为柔性限制

对每个$\theta$，都可以找到$\lambda$使得之前的目标函数等价于下面
$\min \ell (\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$
可以通过拉格朗日乘子来证明
$\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$称为惩罚项penalty
超参数$\lambda$控制了正则项的重要程度
$\lambda$=0:无作用
$\lambda \to \infty$, w*→0

演示对最优解的影响

参数更新法则

计算梯度
$$\frac{\partial }{\partial \mathbf{w}}(\ell (\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2)=\frac{\partial \ell (\mathbf{w},b)}{\partial \mathbf{w}}+\lambda \mathbf{w}$$
时间t更新参数$w_{t+1}=w_t-\eta \frac{\partial }{\partial w_t}$
$${\mathbf{w}}_{\mathbf{t}+1}=（1-\eta \lambda ）{\mathbf{w}}_{\mathbf{t}}-\eta \frac{\partial \ell ({\mathbf{w}}_{\mathbf{t}},b_t)}{\partial {\mathbf{w}}_{\mathbf{t}}}$$
通常$\eta \lambda <1$，在深度学习中通常叫做权重衰退

总结

• 权重衰退通过L2正则项使得模型参数不会过大，从而控制模型复杂度
• 正则项权重是控制模型复杂度的超参数

代码演示(从零实现)

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将$L_2$的平方惩罚添加到原始目标函数中。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下
$$y=0.05+\sum _{i=1}^{d}0.01x_i+ϵ\text{ where }ϵ\sim \mathcal{N}(0,0.01^2).$$
我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到d=200， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

1 初始化模型参数

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

2 定义L2范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

3 定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

或者实现如下;

batch_size, num_epochs, lr = 1, 100, 0.003
net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss

dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)

def fit_and_plot(lambd):
    w, b = init_params()
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 添加了L2范数惩罚项
            l = loss(net(X, w, b), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l = l.sum()

            if w.grad is not None:
                w.grad.data.zero_()
                b.grad.data.zero_()
            l.backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        train_ls.append(loss(net(train_features, w, b), train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features, w, b), test_labels).mean().item())
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', w.norm().item())

4 忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)
fit_and_plot(lambd=0)

5 使用权重衰减

train(lambd=3)
fit_and_plot(lambd=3)

代码演示（简洁实现）

由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。 此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。

在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数不会衰减。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

或者实现如下：

def fit_and_plot_pytorch(wd):
    # 对权重参数衰减。权重名称一般是以weight结尾
    net = nn.Linear(num_inputs, 1)
    nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
    nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
    optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr, weight_decay=wd) # 对权重参数衰减
    optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr)  # 不对偏差参数衰减

    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X), y).mean()
            optimizer_w.zero_grad()
            optimizer_b.zero_grad()

            l.backward()

            # 对两个optimizer实例分别调用step函数，从而分别更新权重和偏差
            optimizer_w.step()
            optimizer_b.step()
        train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).mean().item())
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())

这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显

train_concise(0)

train_concise(3)

小结

正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。

保持模型简单的一个特别的选择是使用惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。

权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。

在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。