第十三届蓝桥杯JavaB组省赛G题——数组切分 (AC)

CSDN话题挑战赛第2期
参赛话题：算法题解

1.数组切分

1.问题描述

已知一个长度为 $N$ 的数组: $A_1,A_2,A_3,\dots A_N$ 恰好是 $1\sim N$ 的一个排列。现在要求你将 $A$ 数组切分成若干个 (最少一个, 最多 $N$ 个) 连续的子数组, 并且 每个子数组中包含的整数恰好可以组成一段连续的自然数。

例如对于 $A=1,3,2,4$, 一共有 5 种切分方法:

$1324$ : 每个单独的数显然是 (长度为 1 的) 一段连续的自然数。

$\{1\}\{3,2\}\{4\}:\{3,2\}$ 包含 $2$ 到 $3$ , 是 一段连续的自然数, 另外 $1$ 和 $4$ 显然 也是。

$\{1\}\{3,2,4\}:\{3,2,4\}$ 包含 $2$ 到 $4$ , 是一段连续的自然数, 另外 $1$ 显然也是。

$\{1,3,2\}\{4\}:\{1,3,2\}$ 包含 $1$ 到 $3$ , 是 一段连续的自然数, 另外 $4$ 显然也是。

$\{1,3,2,4\}$ : 只有一个子数组, 包含 $1$ 到 $4$ , 是 一段连续的自然数。

2.输入格式

第一行包含一个整数 $N$ 。第二行包含 $N$ 个整数, 代表 $A$ 数组。

3.输出格式

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大, 所以输出其对 1000000007 取模后的值

4.样例输入

4
1 3 2 4

5.样例输出

5

6.数据范围

对于 $30\%$ 评测用例, $1\le N\le 20$.

对于 $100\%$ 评测用例, $1\le N\le 10000$.

7.原题连接

数组切分

2.解题思路

一道比较明显的dp题，首先考虑一段子数组在包含一段连续的自然数时，会有什么性质？设区间$[L,R]$的值域为$[min,max]$，不难发现如果该区间是一段连续自然数时，将会满足:
$$max-min=R-L$$
也就是区间的最大值减去最小值等于右端下标减去左端下标。有了这个性质以后，从数据范围考虑，$n$ 最多为 1e4 ，说明我们可以进行一个 $n^2$ 的 $dp$ 转移。
设 $f[i]$ 为只考虑前 $i$ 个数能切分的情况数。当区间$[j,i]$是一段连续自然数时，我们可以进行状态转移$$f[i]=(f[i]+f[j-1])$$
对于每个 $i$ 我们可以从倒着遍历回去一直到下标 $1$ ，同时开两个变量维护已遍历的数中的最大值和最小值，当此时区间是一段连续自然数时我们可以进行一次转移。
初始化时应该置 $f[0]=1$。
整体时间复杂度：$O(n^2)$

模板代码

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1000000007;
const int N=200010;

int n;
int a[N];
LL f[N];
void solve()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int mx=a[i],mi=a[i];
		for(int j=i;j>=1;j--){
			mx=max(mx,a[j]);
			mi=min(mi,a[j]);
			if(mx-mi==i-j){
				f[i]=(f[i]+f[j-1])%mod;
			}
		}
	}
	cout<<f[n]<<'\n';
}
int main() 
{
	ios_base :: sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);	
    solve();
    return 0;
}