参考自https://www.bilibili.com/video/BV11b411W7et
也被称为第一类曲线积分(特点是对弧长积分没有方向)
对 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)上的一段弧可以进行划分为若干段 Δ S i \Delta S_i ΔSi,其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)也可以理解为弧的一个性质,例如若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)表示线密度,在该条件下曲线积分则表示:弧长 × 线密度 = 曲型物体质量。
M = lim λ → 0 ∑ i = 1 h ρ ( ξ i , η i ) Δ S i = ∫ L ρ ( x , y ) d s M=\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^h \rho(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i ={ \int_L {\rho \left( x,y \left) ds\right. \right. }} M=λ→0limi=1∑hρ(ξi,ηi)ΔSi=∫Lρ(x,y)ds
所以一个典型的积分定义式是这样的:
∫ L f ( x , y ) d s { \int_L {f \left( x,y \left) ds\right. \right. }} ∫Lf(x,y)ds
L是积分区域,也就是那段弧。(类比于一元积分,积分区域可以是x轴或y轴,二元积分的积分区域是一个二维区域)
对于这样一个积分
质量 M M M
M = ∫ L f ( x , y ) d s M=\int_L f(x,y)ds M=∫Lf(x,y)ds
质心 x ‾ \overline x x和 y ‾ \overline y y
x ‾ = ∫ L x f ( x , y ) d s ∫ L f ( x , y ) d s y ‾ = ∫ L y f ( x , y ) d s ∫ L f ( x , y ) d s \overline x=\frac{\int_Lxf(x,y)ds}{\int_Lf(x,y)ds}\quad \overline y=\frac{\int_Lyf(x,y)ds}{\int_Lf(x,y)ds} x=∫Lf(x,y)ds∫Lxf(x,y)dsy=∫Lf(x,y)ds∫Lyf(x,y)ds
转动惯量
I x = ∫ L = y 2 f ( x , y ) d s I y = ∫ x 2 f ( x , y ) d s I_x=\int_L=y^2f(x,y)ds \quad I_y=\int x^2f(x,y)ds Ix=∫L=y2f(x,y)dsIy=∫x2f(x,y)ds
被积函数可加性
∫ L [ α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ] d s = α ∫ L f ( x , y ) d s + β ∫ L g ( x , y ) d s \int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_L f(x,y)ds+\beta\int_L g(x,y)ds ∫L[αf(x,y)+βg(x,y)]ds=α∫Lf(x,y)ds+β∫Lg(x,y)ds
积分区域可加性
∫ L 1 + L 2 f ( x , y ) d s = ∫ L 1 f ( x , y ) d s + ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_1+L_2} f(x,y)ds=\int_{L_1} f(x,y)ds+\int_{L_2} f(x,y)ds ∫L1+L2f(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫L2f(x,y)ds
若 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x,y) \le g(x,y) f(x,y)≤g(x,y)对于 ( ∀ ( x , y ) ∈ L ) (\forall(x,y) \in L) (∀(x,y)∈L)则有:
∫ L f ( x , y ) d s ≤ ∫ L g ( x , y ) d s \int_L f(x,y)ds \le \int_L g(x,y)ds ∫Lf(x,y)ds≤∫Lg(x,y)ds
(类比于一元积分而二元积分)亦存在对称性,这个时候要看某个变量的奇偶性
其中绿色笔迹是对于L关于y轴对称的情况
方法一:统一变量,例如y用x表示
这样整个积分就有了这样的转化(曲线积分转化为定积分)
∫ L f ( x , y ) = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + ( y ′ ) 2 d x \int_Lf(x,y)=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+(y')^2}dx ∫Lf(x,y)=∫abf(x,y(x))1+(y′)2dx
当然也可以是对y轴进行积分(假设 c ≤ y ≤ d c \le y \le d c≤y≤d)
∫ L f ( x , y ) = ∫ c d f ( x ( y ) , y ) 1 + ( x ′ ( y ) ) 2 d y \int_Lf(x,y)=\int_c^df(x(y),y)\sqrt{1+(x'(y))^2}dy ∫Lf(x,y)=∫cdf(x(y),y)1+(x′(y))2dy
例1:对于 ∫ L y d s \int_L \sqrt{y}ds ∫Lyds其中 L L L是 y = x 2 y=x^2 y=x2上 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)到 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)的一段弧,则有:
∫ L y = ∫ 0 1 x 2 1 + ( 2 x ) 2 d x = ∫ 0 1 x 1 + 4 x 2 d x \int_L \sqrt{y}=\int_0^1 \sqrt{x^2} \sqrt{1+(2x)^2}dx=\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}dx ∫Ly=∫01x21+(2x)2dx=∫01x1+4x2dx
拆根号要注意可能需要添加绝对值,由于这里的 x ∈ [ 0 , 1 ] x \in [0,1] x∈[0,1]所以不用加,但是某些情况还是需要加一下的。
∫ 0 1 x 1 + 4 x 2 d x = 1 12 ( 5 5 − 1 ) \int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) ∫01x1+4x2dx=121(55−1)
或者对Y轴进行一个分的积,咱就是说由于 x = y x=\sqrt{y} x=y,把这个带入得到
∫ L y = ∫ 0 1 y 1 + 1 4 y d y = ∫ 0 1 y + 1 4 d y = 1 12 ( 5 5 − 1 ) \int_L \sqrt{y}=\int_0^1 \sqrt{y} \sqrt{1+\frac{1}{4y}}dy=\int_0^1 \sqrt{y+\frac{1}{4}}dy=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) ∫Ly=∫01y1+4y1dy=∫01y+41dy=121(55−1)
由于被积函数没得 x x x所以是不用改动的,加一下积分上下限替换一下 d x dx dx就行
有必要注意的是 ∫ L f ( x , y ( x ) ) \int_L f(x,y(x)) ∫Lf(x,y(x))是一个形式,只是说这样的表示下,那里是一个与x有关的函数,并不真的是写个 f ( x , y ( x ) ) f(x,y(x)) f(x,y(x))上去,比如说在本例里是 ∫ L y \int_L \sqrt{y} ∫Ly
有没有一种可能,我是说,坐标是参数方程描述的。不过也没关系,对于
f ( x ) = { x = x ( t ) y = y ( t ) t 1 ≤ t ≤ t 2 f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & = & x(t) \\ y & = & y(t) \\ \end{aligned} \right. \quad t_1 \le t \le t2 f(x)={xy==x(t)y(t)t1≤t≤t2
这样就有
∫ L f ( x , y ) d x = ∫ t 1 t 2 f ( x ( t ) , y ( t ) ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t \int_Lf(x,y)dx=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt ∫Lf(x,y)dx=∫t1t2f(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2dt
例2.1:计算 I = ∫ L 1 x 2 + y 2 d s I=\int_{L1} \sqrt{x^2+y^2}ds I=∫L1x2+y2ds其中 L 1 : x 2 + y 2 = a x ( y > 0 , a > 0 ) L_1:x^2+y^2=ax\quad(y>0,a>0) L1:x2+y2=ax(y>0,a>0)
这里积分区域可以转化为圆 ( x − a 2 ) 2 + y 2 = a 2 4 (x-\frac a2)^2+y^2=\frac{a^2}{4} (x−2a)2+y2=4a2的y轴上半部分,但是参数方程做起来会更方便
利用 cos 2 t + sin 2 t = 1 \cos^2t+\sin^2t=1 cos2t+sin2t=1得到
{ x − a 2 = a 2 cos t y = a 2 sin t → { x = a 2 cos t + a 2 y = a 2 sin t ( 0 ≤ t ≤ π ) \left\{ \begin{aligned} x-\frac a2=\frac a2 \cos t \\ y=\frac a2 \sin t \\ \end{aligned} \right. \quad \to \quad \left\{ \begin{aligned} x=\frac a2 \cos t +\frac a2\\ y=\frac a2 \sin t \\ \end{aligned} \right. \quad (0 \le t \le \pi) ⎩⎪⎨⎪⎧x−2a=2acosty=2asint→⎩⎪⎨⎪⎧x=2acost+2ay=2asint(0≤t≤π)
依据上式将积分化为
∫ L 1 = ∫ 0 π ( a 2 + a 2 cos t ) 2 + a 2 4 sin 2 t ⋅ ( − a 2 sin t ) 2 + ( a 2 cos t ) 2 d t \int_{L1}=\int_0^\pi \sqrt{(\frac a2+\frac a2 \cos t)^2+\frac{a^2}{4}\sin^2t}· \sqrt{(-\frac a2 \sin t)^2+(\frac a2 \cos t)^2}dt ∫L1=∫0π(2a+2acost)2+4a2sin2t⋅(−2asint)2+(2acost)2dt
因而化简为
∫ 0 π a 2 4 + a 2 2 cos t + a 2 4 ⋅ a 2 d t = a 2 \int_0^\pi \sqrt{\frac{a^2}4 + \frac{a^2}2 \cos t+\frac{a^2}4}·\frac a2dt=a^2 ∫0π4a2+2a2cost+4a2⋅2adt=a2
例2.2:计算 I = ∫ L 2 x 2 + y 2 d s I=\int_{L2} \sqrt{x^2+y^2}ds I=∫L2x2+y2ds其中 L 1 : x 2 + y 2 = a x ( a > 0 ) L_1:x^2+y^2=ax\quad(a>0) L1:x2+y2=ax(a>0)
这玩意就是对称性,两倍上面的结果就是了。画图一眼看出来。 L 2 L_2 L2关于 x x x轴对称且是偶函数。所以有:
∫ L 2 = 2 ∫ L 1 \int_{L_2}=2\int{L_1} ∫L2=2∫L1
例3
对于周长为 a a a的椭圆 L : x 2 4 + y 2 3 = 1 L:\frac{x^2}4+\frac{y^2}3=1 L:4x2+3y2=1求 I = ∮ L ( 2 x y + 3 x 2 + 4 y 2 ) d s I=\oint_L{(2xy+3x^2+4y^2)}ds I=∮L(2xy+3x2+4y2)ds
首先这是一个封闭的曲线。先化简 I I I得到
I = 2 ∮ x y d s + ∮ ( 3 x 2 + 4 y 2 ) d s I=2\oint{xy}ds +\oint{(3x^2+4y^2)ds} I=2∮xyds+∮(3x2+4y2)ds
对于该式由于第一部分的被积函数 x y xy xy关于y是奇函数,并且 L L L关于x轴对称,所以该部分和为0。接下来考虑第二部分
由椭圆定义可知 3 x 2 + 4 y 2 = 12 3x^2+4y^2=12 3x2+4y2=12,即原式可写为
I = 0 + ∮ L 12 d s = 12 ∮ 1 d s = 12 ∗ 周 长 = 12 a I=0+\oint_L{12}ds=12\oint 1ds=12*周长=12a I=0+∮L12ds=12∮1ds=12∗周长=12a
该性质可以推广到三维情况,即对于参数方程
{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) t 1 ≤ t ≤ t 2 \left\{ \begin{aligned} x=x(t) \\ y = y(t)\\ z=z(t) \end{aligned} \right. \quad t_1 \le t \le t_2 ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)t1≤t≤t2
其曲线积分的公式是
∫ L f ( x , y , z ) = ∫ t 1 t 2 f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 d t \int_Lf(x,y,z)=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}dt ∫Lf(x,y,z)=∫t1t2f(x(t),y(t),z(t))(x′)2+(y′)2+(z′)2dt