滤波器基础04——全通滤波器

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前言

全通滤波器不改变信号的幅值，仅改变信号的相位。 全通滤波器的一种用途是提供相位均衡，一般用在脉冲电路中。同时也可用在单边带、 抑制载波调制电路中。

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一. 一阶全通滤波器

1.1 一阶滞后全通滤波器

电路图如下图所示：

设运放正输入的电压为$X\left(s\right)$，有：
$$\{\begin{array}{l}\frac{U_i\left(s\right)-X\left(s\right)}{R_3}=\frac{X\left(s\right)}{\frac{1}{s{C}_1}}\\ \frac{U_i\left(s\right)-X\left(s\right)}{R_1}=\frac{X\left(s\right)-U_o\left(s\right)}{R_2}\end{array}$$

$$\Rightarrow H\left(s\right)=\frac{\frac{R_2}{R_1}-s{R}_3{C}_1}{1+s{R}_3{C}_1}$$

对于全通滤波器，$R_1$与$R_2$必须相等，有：
$$H\left(s\right)=\frac{1-R_3{C}_{1}s}{1+R_3{C}_{1}s}$$
幅频特性：
$$A\left(w\right)=\frac{\sqrt{1+{\left(R_3{C}_1\omega \right)}^2}}{\sqrt{1+{\left(R_3{C}_1\omega \right)}^2}}=1$$
相频特性：相角 = 分子相角 - 分母相角。
$$\phi \left(\omega \right)=\mathrm{arc}\tan \left(\frac{-R_3{C}_1\omega }{1}\right)-\mathrm{arc}\tan \left(\frac{R_3{C}_1\omega }{1}\right)=-2\mathrm{arc}\tan \left(R_3{C}_1\omega \right)$$
又$\mathrm{arc}\tan \left(R_3{C}_1\right)$的值在 0 ~ 90° 之间，所以相角在 -180° ~ 0° 之间，为滞后。

一阶滞后全通LTspice仿真电路与Bode图如下图所示。注意通带内相位从0°向-180°变化。

注意，实际电路容值的选择一般在100pF~100nF之间，这时电容介质一般为C0G或X7R，有着比较好的温度特性。电阻值最大不要超过1MΩ，不然可能接近运放的输入电阻，使得运放的虚断特性不再成立。

1.2 一阶超前全通滤波器

电路图如下图所示：

设运放正输入的电压为$X\left(s\right)$，有：
$$\{\begin{array}{l}\frac{U_i\left(s\right)-X\left(s\right)}{\frac{1}{s{C}_1}}=\frac{X\left(s\right)}{R_3}\\ \frac{U_i\left(s\right)-X\left(s\right)}{R_1}=\frac{X\left(s\right)-U_o\left(s\right)}{R_2}\end{array}$$

$$\Rightarrow H\left(s\right)=\frac{-\frac{R_2}{R_1}+s{R}_3{C}_1}{1+s{R}_3{C}_1}$$

同样有$R_1=R_2$，则
$$H\left(s\right)=\frac{-1+s{R}_3{C}_1}{1+s{R}_3{C}_1}$$
相频特性：
$$\phi \left(\omega \right)=180°+\mathrm{arc}\tan \left(\frac{R_3{C}_1\omega }{-1}\right)-\mathrm{arc}\tan \left(\frac{R_3{C}_1\omega }{1}\right)=180°-2\mathrm{arc}\tan \left(R_3{C}_1\omega \right)$$
又$\mathrm{arc}\tan \left(R_3{C}_1\right)$的值在 0 ~ 90° 之间，所以相角在 0 ~ 180° 之间，为超前。

一阶超前全通滤波器LTspice仿真电路图与Bode图如下图所示。注意通带内相位从180°向0°变化。

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二. 二阶全通滤波器

二阶全通滤波器电路如下图所示。

设运放$\text{正输入电压为}X\left(s\right)\text{，}{R}_1\text{与}{C}_1\text{连接点电压为}Y\left(s\right)$，有：
$$\{\begin{array}{l}\frac{U_i\left(s\right)-X\left(s\right)}{R_3}=\frac{X\left(s\right)}{R_4}\\ \frac{Y\left(s\right)-X\left(s\right)}{\frac{1}{s{C}_2}}=\frac{X\left(s\right)-U_o\left(s\right)}{R_2}\\ \frac{U_i\left(s\right)-Y\left(s\right)}{R_1}=\frac{Y\left(s\right)-X\left(s\right)}{\frac{1}{s{C}_2}}+\frac{Y\left(s\right)-U_0\left(s\right)}{\frac{1}{s{C}_1}}\end{array}$$

$$\text{最上式}\Rightarrow X\left(s\right)=\frac{R_4}{R_3+R_4}{U}_i\left(s\right)=k{U}_i\left(s\right),\text{其中}k=\frac{R_4}{R_3+R_4}$$

$$\text{中间式}\Rightarrow Y\left(s\right)=\frac{k\left(1+R_2{C}_{2}s\right)U_i\left(s\right)-U_o\left(s\right)}{R_2{C}_{2}s}$$

$$\text{最下式}\Rightarrow Y\left(s\right)=\frac{U_i\left(s\right)\left(1+s{R}_1{C}_{2}k\right)+s{R}_1{C}_1{U}_0\left(s\right)}{1+s{R}_1{C}_1+s{R}_1{C}_2}$$

有：
$$\frac{k\left(1+R_2{C}_{2}s\right)U_i\left(s\right)-U_o\left(s\right)}{R_2{C}_{2}s}=\frac{U_i\left(s\right)\left(1+s{R}_1{C}_{2}k\right)+s{R}_1{C}_1{U}_0\left(s\right)}{1+s{R}_1{C}_1+s{R}_1{C}_2}$$

$$U_o\left(s\right)\left(\frac{s{R}_1{C}_1}{1+s{R}_1{C}_1+s{R}_1{C}_2}+\frac{1}{R_2{C}_{2}s}\right)=U_i\left(s\right)\left(\frac{1+s{R}_1{C}_{2}k}{1+s{R}_1{C}_1+s{R}_1{C}_2}-k\frac{1+R_2{C}_{2}s}{R_2{C}_{2}s}\right)$$

$$\Rightarrow H\left(s\right)=\frac{U_o\left(s\right)}{U_i\left(s\right)}=\frac{\frac{1+s{R}_1{C}_{2}k}{1+s{R}_1{C}_1+s{R}_1{C}_2}-k\frac{1+R_2{C}_{2}s}{R_2{C}_{2}s}}{\frac{s{R}_1{C}_1}{1+s{R}_1{C}_1+s{R}_1{C}_2}+\frac{1}{R_2{C}_{2}s}}$$

最终的通用传递函数为：
$$\Rightarrow H\left(s\right)=k\frac{1+\left(R_1{C}_1+R_1{C}_2+\frac{k-1}{k}{R}_2{C}_2\right)s+R_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2}{1+\left(R_1{C}_1+R_1{C}_2\right)s+R_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2}$$
因为是全通滤波器，有：
$$R_1{C}_1+R_1{C}_2+\frac{k-1}{k}{R}_2{C}_2=-R_1{C}_1-R_1{C}_2$$

$$\Rightarrow 2R_1{C}_1+2R_1{C}_2=\frac{1-k}{k}{R}_2{C}_2$$

一般来说，两个电容会选择相同容值的即$C_1=C_2$，有：
$$4R_1=\frac{1-k}{k}{R}_2\Rightarrow R_2=\frac{4k}{1-k}{R}_1$$
则实际电路传递函数为：
$$H\left(s\right)=k\frac{1-j2R_1{C}_1\omega +\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2{s}^2}{1+j2R_1{C}_1\omega +\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2{s}^2}$$

$$H\left(j\omega \right)=k\frac{1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2{w}^2-j2R_1{C}_1\omega }{1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2{w}^2+j2R_1{C}_1\omega }$$

幅频特性：
$$A\left(\omega \right)=k$$
因为$k=\frac{R_4}{R_3+R_4}$，所以信号经过此二阶全通滤波器会被衰减，但衰减与频率无关。

相频特性：
$$\phi \left(\omega \right)=\{\begin{array}{ll}-2\mathrm{arc}\tan \left(\frac{2R_1{C}_1\omega }{1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2{w}^2}\right)& 1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2{w}^2\ne 0\\ -180°& 1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2{w}^2=0\end{array}$$

$$w\text{从}0\to \infty \text{的过程中，}\phi \left(\omega \right)\text{从}0\to -180°\left(\text{等同于}+180°\right)\to +90°\text{变化}$$

可见相位在低频段是滞后，高频段是超前。

将相应限制条件加入电路，得最终的二阶全通滤波器电路如下图所示。

LTspice仿真电路与Bode图如下：

可见，通带幅值为-6dB，对应幅值衰减为原来的1/2。相位从0° 向 -360°变化，注意 -180° ~ -360°相当于+180° ~ 0°。

设计时，注意电容的取值，以100pF ~ 100nF为最佳；电阻取值不要超过1MΩ。

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三. 仿真工程分享

滤波器基础04——全通滤波器的LTspice仿真工程。

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四. 参考

《ADI新概念模拟电路》—— 4.运放电路的频率特性和滤波器，作者杨建国

《ADI滤波器设计教程》—— ADI智库

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