滤波器基础04——全通滤波器

滤波器基础系列博客,传送门:

滤波器基础01——滤波器的种类与特性

滤波器基础02——滤波器的传递函数与性能参数

滤波器基础03——Sallen-Key滤波器、多反馈滤波器与Bainter陷波器

滤波器基础04——全通滤波器

滤波器基础05——巴特沃斯、切比雪夫与贝塞尔滤波器

滤波器基础06——滤波器设计软件


前言

全通滤波器不改变信号的幅值,仅改变信号的相位。 全通滤波器的一种用途是提供相位均衡,一般用在脉冲电路中。同时也可用在单边带、 抑制载波调制电路中。


一. 一阶全通滤波器

1.1 一阶滞后全通滤波器

电路图如下图所示:

滤波器基础04——全通滤波器_第1张图片

设运放正输入的电压为 X ( s ) X\left( s \right) X(s),有:
{ U i ( s ) − X ( s ) R 3 = X ( s ) 1 s C 1 U i ( s ) − X ( s ) R 1 = X ( s ) − U o ( s ) R 2 \begin{cases} \frac{U_i\left( s \right) -X\left( s \right)}{R_3}=\frac{X\left( s \right)}{\frac{1}{sC_1}}\\ \frac{U_i\left( s \right) -X\left( s \right)}{R_1}=\frac{X\left( s \right) -U_o\left( s \right)}{R_2}\\ \end{cases} {R3Ui(s)X(s)=sC11X(s)R1Ui(s)X(s)=R2X(s)Uo(s)

⇒ H ( s ) = R 2 R 1 − s R 3 C 1 1 + s R 3 C 1 \Rightarrow H\left( s \right) =\frac{\frac{R_2}{R_1}-sR_3C_1}{1+sR_3C_1} H(s)=1+sR3C1R1R2sR3C1

对于全通滤波器, R 1 R_1 R1 R 2 R_2 R2必须相等,有:
H ( s ) = 1 − R 3 C 1 s 1 + R 3 C 1 s H\left( s \right) =\frac{1-R_3C_1s}{1+R_3C_1s} H(s)=1+R3C1s1R3C1s
幅频特性:
A ( w ) = 1 + ( R 3 C 1 ω ) 2 1 + ( R 3 C 1 ω ) 2 = 1 A\left( w \right) =\frac{\sqrt{1+\left( R_3C_1\omega \right) ^2}}{\sqrt{1+\left( R_3C_1\omega \right) ^2}}=1 A(w)=1+(R3C1ω)2 1+(R3C1ω)2 =1
相频特性:相角 = 分子相角 - 分母相角。
φ ( ω ) = a r c tan ⁡ ( − R 3 C 1 ω 1 ) − a r c tan ⁡ ( R 3 C 1 ω 1 ) = − 2 a r c tan ⁡ ( R 3 C 1 ω ) \varphi \left( \omega \right) =\mathrm{arc}\tan \left( \frac{-R_3C_1\omega}{1} \right) -\mathrm{arc}\tan \left( \frac{R_3C_1\omega}{1} \right) =-2\mathrm{arc}\tan \left( R_3C_1\omega \right) φ(ω)=arctan(1R3C1ω)arctan(1R3C1ω)=2arctan(R3C1ω)
a r c tan ⁡ ( R 3 C 1 ) \mathrm{arc}\tan \left( R_3C_1 \right) arctan(R3C1)的值在 0 ~ 90° 之间,所以相角在 -180° ~ 0° 之间,为滞后。

一阶滞后全通LTspice仿真电路与Bode图如下图所示。注意通带内相位从0°向-180°变化。

注意,实际电路容值的选择一般在100pF~100nF之间,这时电容介质一般为C0G或X7R,有着比较好的温度特性。电阻值最大不要超过1MΩ,不然可能接近运放的输入电阻,使得运放的虚断特性不再成立。

滤波器基础04——全通滤波器_第2张图片

1.2 一阶超前全通滤波器

电路图如下图所示:

滤波器基础04——全通滤波器_第3张图片

设运放正输入的电压为 X ( s ) X\left( s \right) X(s),有:
{ U i ( s ) − X ( s ) 1 s C 1 = X ( s ) R 3 U i ( s ) − X ( s ) R 1 = X ( s ) − U o ( s ) R 2 \begin{cases} \frac{U_i\left( s \right) -X\left( s \right)}{\frac{1}{sC_1}}=\frac{X\left( s \right)}{R_3}\\ \frac{U_i\left( s \right) -X\left( s \right)}{R_1}=\frac{X\left( s \right) -U_o\left( s \right)}{R_2}\\ \end{cases} {sC11Ui(s)X(s)=R3X(s)R1Ui(s)X(s)=R2X(s)Uo(s)

⇒ H ( s ) = − R 2 R 1 + s R 3 C 1 1 + s R 3 C 1 \Rightarrow H\left( s \right) =\frac{-\frac{R_2}{R_1}+sR_3C_1}{1+sR_3C_1} H(s)=1+sR3C1R1R2+sR3C1

同样有 R 1 = R 2 R_1=R_2 R1=R2,则
H ( s ) = − 1 + s R 3 C 1 1 + s R 3 C 1 H\left( s \right) =\frac{-1+sR_3C_1}{1+sR_3C_1} H(s)=1+sR3C11+sR3C1
相频特性:
φ ( ω ) = 180 ° + a r c tan ⁡ ( R 3 C 1 ω − 1 ) − a r c tan ⁡ ( R 3 C 1 ω 1 ) = 180 ° − 2 a r c tan ⁡ ( R 3 C 1 ω ) \varphi \left( \omega \right) =180\degree+\mathrm{arc}\tan \left( \frac{R_3C_1\omega}{-1} \right) -\mathrm{arc}\tan \left( \frac{R_3C_1\omega}{1} \right) =180\degree-2\mathrm{arc}\tan \left( R_3C_1\omega \right) φ(ω)=180°+arctan(1R3C1ω)arctan(1R3C1ω)=180°2arctan(R3C1ω)
a r c tan ⁡ ( R 3 C 1 ) \mathrm{arc}\tan \left( R_3C_1 \right) arctan(R3C1)的值在 0 ~ 90° 之间,所以相角在 0 ~ 180° 之间,为超前。

一阶超前全通滤波器LTspice仿真电路图与Bode图如下图所示。注意通带内相位从180°向0°变化。

滤波器基础04——全通滤波器_第4张图片

二. 二阶全通滤波器

二阶全通滤波器电路如下图所示。

滤波器基础04——全通滤波器_第5张图片

设运放 正输入电压为 X ( s ) , R 1 与 C 1 连接点电压为 Y ( s ) \text{正输入电压为}X\left( s \right) \text{,}R_1\text{与}C_1\text{连接点电压为}Y\left( s \right) 正输入电压为X(s)R1C1连接点电压为Y(s),有:
{ U i ( s ) − X ( s ) R 3 = X ( s ) R 4 Y ( s ) − X ( s ) 1 s C 2 = X ( s ) − U o ( s ) R 2 U i ( s ) − Y ( s ) R 1 = Y ( s ) − X ( s ) 1 s C 2 + Y ( s ) − U 0 ( s ) 1 s C 1 \begin{cases} \frac{U_i\left( s \right) -X\left( s \right)}{R_3}=\frac{X\left( s \right)}{R_4}\\ \frac{Y\left( s \right) -X\left( s \right)}{\frac{1}{sC_2}}=\frac{X\left( s \right) -U_o\left( s \right)}{R_2}\\ \frac{U_i\left( s \right) -Y\left( s \right)}{R_1}=\frac{Y\left( s \right) -X\left( s \right)}{\frac{1}{sC_2}}+\frac{Y\left( s \right) -U_0\left( s \right)}{\frac{1}{sC_1}}\\ \end{cases} R3Ui(s)X(s)=R4X(s)sC21Y(s)X(s)=R2X(s)Uo(s)R1Ui(s)Y(s)=sC21Y(s)X(s)+sC11Y(s)U0(s)

最上式 ⇒ X ( s ) = R 4 R 3 + R 4 U i ( s ) = k U i ( s ) , 其中 k = R 4 R 3 + R 4 \text{最上式}\Rightarrow X\left( s \right) =\frac{R_4}{R_3+R_4}U_i\left( s \right) =kU_i\left( s \right) , \text{其中}k=\frac{R_4}{R_3+R_4} 最上式X(s)=R3+R4R4Ui(s)=kUi(s),其中k=R3+R4R4

中间式 ⇒ Y ( s ) = k ( 1 + R 2 C 2 s ) U i ( s ) − U o ( s ) R 2 C 2 s \text{中间式}\Rightarrow Y\left( s \right) =\frac{k\left( 1+R_2C_2s \right) U_i\left( s \right) -U_o\left( s \right)}{R_2C_2s} 中间式Y(s)=R2C2sk(1+R2C2s)Ui(s)Uo(s)

最下式 ⇒ Y ( s ) = U i ( s ) ( 1 + s R 1 C 2 k ) + s R 1 C 1 U 0 ( s ) 1 + s R 1 C 1 + s R 1 C 2 \text{最下式}\Rightarrow Y\left( s \right) =\frac{U_i\left( s \right) \left( 1+sR_1C_2k \right) +sR_1C_1U_0\left( s \right)}{1+sR_1C_1+sR_1C_2} 最下式Y(s)=1+sR1C1+sR1C2Ui(s)(1+sR1C2k)+sR1C1U0(s)

有:
k ( 1 + R 2 C 2 s ) U i ( s ) − U o ( s ) R 2 C 2 s = U i ( s ) ( 1 + s R 1 C 2 k ) + s R 1 C 1 U 0 ( s ) 1 + s R 1 C 1 + s R 1 C 2 \frac{k\left( 1+R_2C_2s \right) U_i\left( s \right) -U_o\left( s \right)}{R_2C_2s}=\frac{U_i\left( s \right) \left( 1+sR_1C_2k \right) +sR_1C_1U_0\left( s \right)}{1+sR_1C_1+sR_1C_2} R2C2sk(1+R2C2s)Ui(s)Uo(s)=1+sR1C1+sR1C2Ui(s)(1+sR1C2k)+sR1C1U0(s)

U o ( s ) ( s R 1 C 1 1 + s R 1 C 1 + s R 1 C 2 + 1 R 2 C 2 s ) = U i ( s ) ( 1 + s R 1 C 2 k 1 + s R 1 C 1 + s R 1 C 2 − k 1 + R 2 C 2 s R 2 C 2 s ) U_o\left( s \right) \left( \frac{sR_1C_1}{1+sR_1C_1+sR_1C_2}+\frac{1}{R_2C_2s} \right) =U_i\left( s \right) \left( \frac{1+sR_1C_2k}{1+sR_1C_1+sR_1C_2}-k\frac{1+R_2C_2s}{R_2C_2s} \right) Uo(s)(1+sR1C1+sR1C2sR1C1+R2C2s1)=Ui(s)(1+sR1C1+sR1C21+sR1C2kkR2C2s1+R2C2s)

⇒ H ( s ) = U o ( s ) U i ( s ) = 1 + s R 1 C 2 k 1 + s R 1 C 1 + s R 1 C 2 − k 1 + R 2 C 2 s R 2 C 2 s s R 1 C 1 1 + s R 1 C 1 + s R 1 C 2 + 1 R 2 C 2 s \Rightarrow H\left( s \right) =\frac{U_o\left( s \right)}{U_i\left( s \right)}=\frac{\frac{1+sR_1C_2k}{1+sR_1C_1+sR_1C_2}-k\frac{1+R_2C_2s}{R_2C_2s}}{\frac{sR_1C_1}{1+sR_1C_1+sR_1C_2}+\frac{1}{R_2C_2s}} H(s)=Ui(s)Uo(s)=1+sR1C1+sR1C2sR1C1+R2C2s11+sR1C1+sR1C21+sR1C2kkR2C2s1+R2C2s

最终的通用传递函数为:
⇒ H ( s ) = k 1 + ( R 1 C 1 + R 1 C 2 + k − 1 k R 2 C 2 ) s + R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 1 + ( R 1 C 1 + R 1 C 2 ) s + R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 \Rightarrow H\left( s \right) =k\frac{1+\left( R_1C_1+R_1C_2+\frac{k-1}{k}R_2C_2 \right) s+R_1R_2C_1C_2s^2}{1+\left( R_1C_1+R_1C_2 \right) s+R_1R_2C_1C_2s^2} H(s)=k1+(R1C1+R1C2)s+R1R2C1C2s21+(R1C1+R1C2+kk1R2C2)s+R1R2C1C2s2
因为是全通滤波器,有:
R 1 C 1 + R 1 C 2 + k − 1 k R 2 C 2 = − R 1 C 1 − R 1 C 2 R_1C_1+R_1C_2+\frac{k-1}{k}R_2C_2=-R_1C_1-R_1C_2 R1C1+R1C2+kk1R2C2=R1C1R1C2

⇒ 2 R 1 C 1 + 2 R 1 C 2 = 1 − k k R 2 C 2 \Rightarrow 2R_1C_1+2R_1C_2=\frac{1-k}{k}R_2C_2 2R1C1+2R1C2=k1kR2C2

一般来说,两个电容会选择相同容值的即 C 1 = C 2 C_1=C_2 C1=C2,有:
4 R 1 = 1 − k k R 2 ⇒ R 2 = 4 k 1 − k R 1 4R_1=\frac{1-k}{k}R_2\Rightarrow R_2=\frac{4k}{1-k}R_1 4R1=k1kR2R2=1k4kR1
实际电路传递函数为
H ( s ) = k 1 − j 2 R 1 C 1 ω + 4 k 1 − k R 1 2 C 1 2 s 2 1 + j 2 R 1 C 1 ω + 4 k 1 − k R 1 2 C 1 2 s 2 H\left( s \right) =k\frac{1-j2R_1C_1\omega +\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2s^2}{1+j2R_1C_1\omega +\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2s^2} H(s)=k1+j2R1C1ω+1k4kR12C12s21j2R1C1ω+1k4kR12C12s2

H ( j ω ) = k 1 − 4 k 1 − k R 1 2 C 1 2 w 2 − j 2 R 1 C 1 ω 1 − 4 k 1 − k R 1 2 C 1 2 w 2 + j 2 R 1 C 1 ω H\left( j\omega \right) =k\frac{1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2w^2-j2R_1C_1\omega}{1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2w^2+j2R_1C_1\omega} H()=k11k4kR12C12w2+j2R1C1ω11k4kR12C12w2j2R1C1ω

幅频特性
A ( ω ) = k A\left( \omega \right) =k A(ω)=k
因为 k = R 4 R 3 + R 4 k=\frac{R_4}{R_3+R_4} k=R3+R4R4,所以信号经过此二阶全通滤波器会被衰减,但衰减与频率无关。

相频特性
φ ( ω ) = { − 2 a r c tan ⁡ ( 2 R 1 C 1 ω 1 − 4 k 1 − k R 1 2 C 1 2 w 2 ) 1 − 4 k 1 − k R 1 2 C 1 2 w 2 ≠ 0 − 180 ° 1 − 4 k 1 − k R 1 2 C 1 2 w 2 = 0 \varphi \left( \omega \right) =\begin{cases} -2\mathrm{arc}\tan \left( \frac{2R_1C_1\omega}{1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2w^2} \right)& 1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2w^2\ne 0\\ -180\degree& 1-\frac{4k}{1-k}{R_1}^2{C_1}^2w^2=0\\ \end{cases} φ(ω)={2arctan(11k4kR12C12w22R1C1ω)180°11k4kR12C12w2=011k4kR12C12w2=0

w 从 0 → ∞ 的过程中, φ ( ω ) 从 0 → − 180 ° ( 等同于 + 180 ° ) → + 90 ° 变化 w\text{从}0\rightarrow \infty \text{的过程中,}\varphi \left( \omega \right) \text{从}0\rightarrow -180\degree\left( \text{等同于}+180\degree \right) \rightarrow +90\degree\text{变化} w0的过程中,φ(ω)0180°(等同于+180°)+90°变化

可见相位在低频段是滞后,高频段是超前。

将相应限制条件加入电路,得最终的二阶全通滤波器电路如下图所示。

滤波器基础04——全通滤波器_第6张图片

LTspice仿真电路与Bode图如下:

滤波器基础04——全通滤波器_第7张图片

可见,通带幅值为-6dB,对应幅值衰减为原来的1/2。相位从0° 向 -360°变化,注意 -180° ~ -360°相当于+180° ~ 0°。

设计时,注意电容的取值,以100pF ~ 100nF为最佳;电阻取值不要超过1MΩ。


三. 仿真工程分享

滤波器基础04——全通滤波器_第8张图片

滤波器基础04——全通滤波器的LTspice仿真工程。

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四. 参考

《ADI新概念模拟电路》—— 4.运放电路的频率特性和滤波器,作者杨建国

《ADI滤波器设计教程》—— ADI智库


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