2020icpc上海E 全排列计数

题意：

如果一个排列中，对于任意的$i\in [k+1,n]$，都有$a[i]>min(a[i-k],...,a[i-1])$成立，那么这个排列就是一个好的排列。$n$的排列中有多少个排列是好的排列？

Solution：

要这样的排列存在，首先必须让$1$出现在区间$[1,k]$内，设$dp[i]$为用$i$个不相同的数计算出的这样的排列有多少个，不妨枚举$1$出现的位置$j$，那么$[1,j-1]$位置任意放置任何数，$[j+1,i]$用另外的$i-j$个数重新构成一个这样的排列，于是
$$dp[i]=\sum _{j=1}^k{A}_{i-1}^{j-1}dp[i-j]$$
这样的单次转移是$O(k)$的，但可以写成这样
$$dp[i]=(i-1)!\sum _{j=1}^k\frac{dp[i-j]}{(i-j)!}$$
显然求和是区间和形式，维护$\frac{dp[i]}{i!}$的前缀和就可以$O(1)$转移

全排列问题似乎不需要太注意全排列？用$t$组每组元素都互异的数来等价替换全排列

// #include
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using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e7+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;

ll dp[N],fac[N],invfac[N],sum[N];
int n,k;

ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

void initial()
{
	for(int i=fac[0]=invfac[0]=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	invfac[N-1]=qpow(fac[N-1],mod-2);
	for(int i=N-2;i>=1;i--) invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%mod;
}

int main()
{
	initial();
	cin>>n>>k;
	//有多少个n的排列，使得a[i]>min(a[i-k],a[i-k+1],...,a[i-1]);
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		dp[i]=fac[i];
		sum[i]=(sum[i-1]+dp[i]*invfac[i]%mod)%mod;
	}
	for(int i=k+1;i<=n;i++)	
	{
		dp[i]=fac[i-1]*(((sum[i-1]-sum[i-k-1])%mod+mod)%mod)%mod;
		sum[i]=(sum[i-1]+dp[i]*invfac[i]%mod)%mod;
	}
	cout<<dp[n];
	return 0;
}