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理解卡尔曼滤波

卡尔曼滤波被广泛的应用于运动估计中，在飞行器中多有应用，区别于普通滤波如低通滤波，卡尔曼滤波具有不延时的优点，即普通的低通滤波在过滤噪声的同时也会引入信号滞后，而卡尔曼滤波则可以实时估计对象状态，不产生滞后。与普通滤波不同，卡尔曼滤波基于对象的数学模型进行设计。

关于卡尔曼滤波的介绍参考如下

https://zh.wikipedia.org/wiki/卡尔曼滤波

或者英文网站

https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

列出应用于对象的卡尔曼滤波的全部公式

1. 对象模型

假设对象符合如下模型

        {\textbf {x}}_{​{k}}={\textbf {F}}_{​{k}}{\textbf {x}}_{​{k-1}}+{\textbf {B}}_{​{k}}{\textbf {u}}_{​{k}}+{\textbf {w}}_{​{k}}
        {\textbf {z}}_{​{k}}={\textbf {H}}_{​{k}}{\textbf {x}}_{​{k}}+{\textbf {v}}_{​{k}}

其中，{\textbf {x}}_{​{k}}为状态变量，{\textbf {z}}_{​{k}}为输出，{\textbf {w}}_{​{k}}和{\textbf {v}}_{​{k}}分别为状态和输出的噪声。并假定它们符合一定协方差{\textbf {Q}}_{k}和{\textbf {R}}_{k}的多元正态分布

        {\textbf {w}}_{​{k}}\sim N(0,{\textbf {Q}}_{k})
        {\textbf {v}}_{​{k}}\sim N(0,{\textbf {R}}_{k})

2. 卡尔曼滤波

卡尔曼滤波的公式如下

a）预测

        \mathbf{x}_{k} = \mathbf{F}_{k} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_{k} \mathbf{u}_{k} + \mathbf{w}_{k}
        \mathbf{P}_{k\mid k-1} = \mathbf{F}_{k} \mathbf{P}_{k-1\mid k-1} \mathbf{F}_{k}^{\text{T}} + \mathbf{Q}_{k}

b）更新

        \tilde{\mathbf{y}}_k = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}
        \mathbf{S}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^T + \mathbf{R}_k
        \mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_k^T \mathbf{S}_k^{-1}

        \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_k
        \mathbf{P}_{k|k} = (I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}

除了对象数学模型，卡尔曼滤波包含七个公式，较为复杂，不容易理解，这也是大部分卡尔曼滤波算法的开发者的体会，这里分享一下关于卡尔曼滤波设计的思路，便于对卡尔曼滤波有一个简单直观的理解，以便在工程项目中方便地应用卡尔曼滤波。

3. 卡尔曼滤波的理解

在已知对象模型的条件下，我们可以把卡尔曼滤波看做和被估计对象同时运行的一个系统，这个系统的模型和对象一样，输入和对象一样，输出和对象的输出作比较。在理想条件下，对象的输出和这个模拟系统的输出应该是一样的，但是因为噪声、干扰、初始估计误差等原因，模拟系统的状态变量与对象的状态变量存在误差。卡尔曼滤波的原理就是通过比较模拟系统和对象的输出，反馈到估计量中，不断修正模拟系统中的状态变量估计，从而比较精确的估计出对象模型的状态变量。类似于自动控制中的负反馈。如下图

理解卡尔曼滤波_第1张图片

假设对象模型为

        \mathbf{x}_{k} = \mathbf{F}_{k} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_{k} \mathbf{u}_{k} + \mathbf{w}_{k}                                                                                （1）

对象输出为

        \mathbf{z}_k = \mathbf{H}_{k} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k                                                                                                   （2）

其中 {\textbf {w}}_{​{k}}和{\textbf {v}}_{​{k}} 为系统噪声和测量噪声。

        \mathbf{w}_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{Q}_k)
        \mathbf{v}_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R}_k)

卡尔曼滤波的估计为

        \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} = \mathbf{F}_{k}\hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1} + \mathbf{B}_{k} \mathbf{u}_{k}                                                                              （3）

即为与对象模型等同的一个系统，其中\hat{\mathbf{x}}为模拟系统的状态变量，即对象的状态变量估计。根据卡尔曼滤波估计得到的输出（即模拟系统的输出）与实际测量输出之间的误差为

        \tilde{\mathbf{y}}_k = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}                                                                                            （4）

根据误差对卡尔曼滤波估计进行校正

        \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_k                                        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​                         ​​​​​​​        （5）

其中{\textbf {K}}为校正增益矩阵，上述三个公式即表示了卡尔曼滤波的原理。

而方程式组中的其它公式则是计算校正增益阵{\textbf {K}}使滤波效果达到最优。如下式

         \mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_k^T \mathbf{S}_k^{-1}                                                                                            （6）

其中

        \mathbf{P}_{k\mid k-1} = \mathbf{F}_{k} \mathbf{P}_{k-1\mid k-1} \mathbf{F}_{k}^{\text{T}} + \mathbf{Q}_{k}                                                                           （7）
        \mathbf{S}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^T + \mathbf{R}_k                                                                                    （8）

从原理上讲，{\textbf {K}}根据信号的质量来计算，包括输入的信号质量，输出的信号质量，和状态估计本身的质量，其中{\textbf {Q}}，{\textbf {R}}，{\textbf {P}}分别为输入、输出和状态变量的协方差

        \mathbf{P}_{k\mid k} = \mathrm{cov}(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k})
        \mathbf{P}_{k\mid k-1} = \mathrm{cov}(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})

{\textbf {S}}为输出误差的协方差

        \mathbf{S}_{k} = \mathrm{cov}(\tilde{\mathbf{y}}_k)

分别表征输入、输出、系统状态变量估计以及输出误差的信号质量，式（6）通过三个信号的协方差计算得出校正增益阵，基本上是信号质量越好（协方差越小），则在校正矩阵计算结果中所起的作用越大。状态估计协方差则由输入误差引入并根据输出误差进行校正，如下式。

        \mathbf{P}_{k|k} = (I - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}                                                                               （9）

综上所述，卡尔曼滤波是一个模拟对象系统进行估计和校正的估计方法。在实际工程应用中，建立对象的数学模型，并估计对象的输入和输出噪声方差，即可以应用卡尔曼滤波来估计对象的内部状态。

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