极坐标t1t2几何意义_二重积分-换元法-极坐标

确定极角的范围:

一条简单的规则:如果

是曲线

上的两点,且

,则

是同一点.

1.根据

确定极角范围.

对于

,根据

对于

,根据

.

对于

对于

,此时规则失效,应该为

也就是

成立且上述条件满足时,才能确定为同一点.

因此考虑

,根据

阿基米德螺线:

由

.

选取极点:

例1:计算

根据积分区域,容易想到做极坐标变换,令

所以原积分就等于

这时候就会发现,这个被积式很难处理.

因此转变思路,选择

点作为极点进行极坐标变换.

有

原积分等于

例2:计算

其中

同理:

图像如图所示(暂时还不熟悉matlab操作,先将就一下.)

图像上的区域D即为满足条件的区域.

分别标记圆心坐标在

轴,半径为

的四个圆为A,B,C,D.

记

为圆A,D异于原点的交点(区域D正下方).与

轴角度为

.

做极坐标变换,令

.

区域D关于

对称,被积函数

也关于

对称.

所以

然后根据

因此

选取不同于原点的的点作为极点,相当于做平移变换后选取原点作为极点.

还是例1,对其做平移变换.

令

再做极坐标变换

将两个变换复合,就相当于

.

广义极坐标变换:

例3:

计算

令

,

广义的极坐标变换也相当于伸缩后再进行极坐标变换.

补充:二重积分换元的理论依据:

雅可比行列式:也叫函数行列式,是由

个

元函数对每个自变量求偏导数构成的

维矩阵的行列式.几何意义为

变换前后微分面积的比值.

数学定义:

由

就是一个n元函数

由

就是n个n元函数组成的函数组,即

.

表示为

,设他们对每个自变量都存在偏导数

则行列式

称为函数组

在点

处的

雅可比行列式.表示为

.

在二重积分下为两个

元函数对每个自变量求偏导数构成的二维矩阵的行列式.

.

例:设广义极坐标变换为

,则函数组

在点

下的函数行列式为

.