算法与数据结构 | 时间复杂度分析 / 更准确的描述代码的时间复杂度

数据结构与算法概述

• 什么是数据结构？什么是算法？
  • 从广义上讲，数据结构就是指一组数据的存储结构。算法就是操作数据的一组方法。
  • 从狭义上讲，是指某些著名的数据结构和算法，比如队列、栈、堆、二分查找、动态规划等。
• 算法和数据结构直接的关系
  • 数据结构是为算法服务的，算法要作用在特定的数据结构之上。
• 复杂度分析–算法中重要的概念
• 10 个数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树；
• 10 个算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法。

复杂度分析

大O复杂度表示法

• 求1，2，3…n 累加的和，代码如下：

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

• 计算机执行的操作是：读数据-运算-写数据
• 假设int sum = 0;级别的一行代码需要一个Time，则以上的for循环则需要2n* Time；整个代码执行时间就是T(n)=2* Time+2n * Time；提取公因式变成T(n)=(2+2n)* Time;，则表示每行代码的执行时间和总时间成正比；
• 抽象公式，把每一行代码的执行时间抽象为大O，公式则可以抽象为T(n)=O*f(n)；这就是大 O 时间复杂度表示法；
• 大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

• 如何分析一段代码的时间复杂度？
  • 只关注循环执行次数最多的一段代码
  • 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
  • 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

几种常见时间复杂度实例分析

• 多项式量级和非多项式量级
• O(1)
  • 常量时间复杂度
  • 一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
• O(logn)、O(nlogn)
• O(m+n)、O(m* n)

空间复杂度分析

• 表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

复杂度坐标图

复杂度分析的四个知识点

• 最好情况时间复杂度
  • 一个for循环，在满足条件的时候break；跳出循环
• 最坏情况时间复杂度
  • for循环循环完
• 平均情况时间复杂度
  • 用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示
• 均摊时间复杂度
  • 在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。