一套有趣的期权套利题目
一套有趣的期权套利题目 – 潘登同学的金融经济学笔记
文章目录
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- 一套有趣的期权套利题目 -- 潘登同学的金融经济学笔记
- 来源
- 出题人给出的解法
- 我的解法
来源
前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题
出题人给出的解法
因为期权的现金流是个凸函数，
K = 40 ， 50 ， 70 V ( K ) = 10 , 20 , 30 50 = 2 3 40 + 1 3 70 20 = V ( 50 ) ≥ 2 3 V ( 40 ) + 1 3 V ( 70 ) = 16.67 存在套利空间，卖出 3 个 50 ，买入 2 个 40 ， 1 个 70 K = 40，50， 70\\ V(K) = 10, 20, 30 \\ 50 = \frac{2}{3} 40 + \frac{1}{3} 70 \\ 20 = V(50) \geq \frac{2}{3}V(40) + \frac{1}{3}V(70) = 16.67\\ 存在套利空间，卖出3个50，买入2个40 ， 1个70 K=40，50，70V(K)=10,20,3050=3240+317020=V(50)≥32V(40)+31V(70)=16.67存在套利空间，卖出3个50，买入2个40，1个70
但是出题人这样任意取 2 3 \frac{2}{3} 32和 1 3 \frac{1}{3} 31的做法，不一定令人信服，但是本质上想让线性部分的现金流加和相等的思想是可取的(即买入与卖出的两个资产组合的现金流相等，进而相互抵消)
将三个期权的现金流，与组合的现金流画在图上则是
可以看到在价格小于等于40的时候，组合的现金流是平稳的，这就是线性部分现金流抵消的思想；
我的解法
作为一名严谨的金融学者，肯定不能这样盲目地定下 2 3 \frac{2}{3} 32和 1 3 \frac{1}{3} 31的比例；
根据无套利定价思想，如果存在套利机会，构造一个资产组合,则必有
π = a f a + b f b + c f c = a ( max ( 40 − x , 0 ) − 10 ) + b ( max ( 50 − x , 0 ) − 20 ) + c ( max ( 70 − x , 0 ) − 30 ) ≥ 0 \begin{aligned} \pi &= af_a + bf_b + cf_c \\ &= a(\max(40-x,0) - 10) + b(\max(50-x,0) - 20) + c(\max(70-x,0) - 30) \geq 0 \end{aligned} π=afa+bfb+cfc=a(max(40−x,0)−10)+b(max(50−x,0)−20)+c(max(70−x,0)−30)≥0
其中，等于号不恒成立； 将上式写成分段函数
{ a ( 30 − x ) + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , x ≤ 40 − 10 a + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 40 < x ≤ 50 − 10 a + − 20 b + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 50 < x ≤ 70 − 10 a + − 20 b − 30 c ≥ 0 , 70 < x ⇒ { ( a + b + c ) x ≤ 30 a + 30 b + 40 c , x ≤ 40 ( a + b ) x ≤ − 10 a + 30 b + 40 c , 40 < x ≤ 50 c x ≤ − 10 a − 20 b + 40 c , 50 < x ≤ 70 a + 2 b + c ≤ 0 , 70 < x \begin{cases} a(30-x) + b(30-x) + c(40-x) \geq 0, & x\leq 40 \\ -10a + b(30-x) + c(40-x) \geq 0, & 40 < x\leq 50 \\ -10a + -20b + c(40-x) \geq 0, & 50< x\leq 70 \\ -10a + -20b - 30c \geq 0, & 70< x \\ \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} (a+b+c) x \leq 30 a + 30 b + 40 c, & x\leq 40 \\ (a+b) x \leq -10 a + 30 b + 40 c, & 40 < x\leq 50 \\ c x \leq -10 a - 20 b + 40 c, & 50< x\leq 70 \\ a + 2b + c \leq 0, & 70< x \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a(30−x)+b(30−x)+c(40−x)≥0,−10a+b(30−x)+c(40−x)≥0,−10a+−20b+c(40−x)≥0,−10a+−20b−30c≥0,x≤4040<x≤5050<x≤7070<x⇒⎩ ⎨ ⎧(a+b+c)x≤30a+30b+40c,(a+b)x≤−10a+30b+40c,cx≤−10a−20b+40c,a+2b+c≤0,x≤4040<x≤5050<x≤7070<x
观察上式，可以看到不等式右边都是参数，而不等式左边都是一次型函数(除了最后一条不等式)； 假设给定 a , b , c a,b,c a,b,c下，那么不等式右边值确定，不等式左边的单调性也随之确定； 因为不等式左边要么单调增，要么单调减，所以将边界带进去，如果边界值满足，那么所有值都满足，进而
{ 0 ≤ 30 a + 30 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 10 b 0 ≤ − 50 a − 10 b + 40 c 0 ≤ − 60 a − 20 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 10 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 30 c \begin{cases} 0 \leq 30 a + 30 b + 40 c \\ 0 \leq -10 a - 10 b \\ 0 \leq -50 a -10 b + 40 c \\ 0 \leq -60 a - 20 b + 40 c \\ 0 \leq -10 a - 20 b - 10 c \\ 0 \leq -10 a - 20 b - 30 c \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧0≤30a+30b+40c0≤−10a−10b0≤−50a−10b+40c0≤−60a−20b+40c0≤−10a−20b−10c0≤−10a−20b−30c
显然这是一个三维的线性规划，比较难解，但是因为 a , b , c a,b,c a,b,c只是比例，不是具体数，设 a = 1 a=1 a=1，将问题转化为二维的线性规划
{ 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ − 3 − b + 2 c 0 ≤ − 1 − 2 b − c 0 ≤ − 1 − 2 b − 3 c b ≤ 0 \begin{cases} 0 \leq 3 + 3b + 4c \\ 0 \leq -5 - b + 4c \\ 0 \leq -3 - b + 2c \\ 0 \leq -1 - 2b - c \\ 0 \leq -1 - 2b - 3c \\ b \leq 0 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧0≤3+3b+4c0≤−5−b+4c0≤−3−b+2c0≤−1−2b−c0≤−1−2b−3cb≤0
将不等号变为等号，画在图中
根据各个线与0的关系，能在图中找到解空间，那么这个解空间就是可供套利的比例选择，注意并非只有一种套利的比例选择；
写为数学表达则为
{ 0 ≤ − 1 − 2 b − 3 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c \begin{cases} 0 \leq -1 - 2b - 3c \\ 0 \leq -5 - b + 4c \\ 0 \leq 3 + 3b + 4c \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧0≤−1−2b−3c0≤−5−b+4c0≤3+3b+4c
在这个解集中，随便找一个比例 a = 1 , b = − 3 , c = 1.6 a=1,b=-3,c=1.6 a=1,b=−3,c=1.6,画出组合现金流
所以说，是不是我的解法比较严谨，套利不再那么神乎其神，只是在数学本质外的面纱而已！！！