Lecture07：双层规划方法
目录
1 双层规划模型
1.1 一个简单的例子
1.2 斯坦克尔伯格模型到双层规划模型
2 求解双层规划
2.1 Mathematical Program with Complementarity Constraint (MPCC)
2.2 互补条件的线性化
2.2.1 Fortuny‐Amat (“Big‐M”) approach
3 策略提供问题（Strategic offering problem）
3.1 问题描述与模型
3.2 生成下层问题的KKT条件
3.3 线性化互补条件
3.4 模型处理
4 Equilibrium Problem with Equilibrium Constraints (EPEC)
本系列已发表文章列表：
Lecture01：市场出清问题的优化建模
Lecture1b: 如何由原始线性规划模型得到最优条件和对偶问题
Lecture02：均衡问题-优化问题以及KKT等价
Lecture03: 市场出清机制的理想特性
Lecture05：随机市场出清_运筹码仓的博客-CSDN博客
Lecture06：市场出清问题的鲁棒方法_运筹码仓的博客-CSDN博客
参考书籍：
- Gabriel, S. A., Conejo, A. J., Fuller, J. D., Hobbs, B. F., & Ruiz, C. (2012). Complementarity modeling in energy markets (Vol. 180). Springer Science & Business Media.
- Dempe, S. (2018). Bilevel optimization: theory, algorithms and applications (Vol. 3). TU Bergakademie Freiberg, Fakultät für Mathematik und Informatik.
- Luo, Z. Q., Pang, J. S., & Ralph, D. (1996). Mathematical programs with equilibrium constraints. Cambridge University Press.
- Pozo, D., Sauma, E., & Contreras, J. (2017). Basic theoretical foundations and insights on bilevel models and their applications to power systems. Annals of Operations Research, 254(1), 303-334.
1 双层规划模型
1.1 一个简单的例子
现在有两个玩家，称为领导者和跟随者，追随者的反应会影响领导者，领导者会预测追随者的反应。
因为追随者是看到领导者的行为之后，自己才行动，因此我们可以将联系约束，放到追随者的优化问题中。于是有：
这里，x和y 是领导者的决策变量，但x在追随者的优化中是参数。所以，双层规划模型是，一个优化问题受制于另一个优化问题的模型。
1.2 斯坦克尔伯格模型到双层规划模型
一般定义：
规划过程分为两层：上层规划是领导者的优化问题，下层规划是跟随者的优化问题。
上层规划受制于下层规划，也就是说下层规划问题本身是作为上层规划问题的约束存在的。
如果一部分跟随者同时是另一部分追随者的领导者，我们将可以建立起三层规划问题。
2 求解双层规划
2.1 Mathematical Program with Complementarity Constraint (MPCC)
下层问题被使用KKT条件替换，从而导致双层规划问题变为一个单目标优化程序。此外，在一些案例中，下层问题将被转化为均衡问题，此时方法称为Mathematical Program with Equilibrium Constraint (MPEC).
2.2 互补条件的线性化
2.2.1 Fortuny‐Amat (“Big‐M”) approach
Fortuny-Amat, J., & McCarl, B. (1981). A representation and economic interpretation of a two-level programming problem. Journal of the operational Research Society, 32(9), 783-792.
使用大M求解问题后，应该检查一下原始互补问题是否成立。
注意事项：
- 选择而是用大M方法应该谨慎，因为选择合适的大M值，是一件有挑战性的事情；如果选错了，可能导致次优解或病态条件。
更多的细节参见：
- Pineda, S., & Morales, J. M. (2019). Solving linear bilevel problems using big-Ms: not all that glitters is gold. IEEE Transactions on Power Systems, 34(3), 2469-2471.
- Kleinert, T., Labbé, M., Plein, F. A., & Schmidt, M. (2020). There’s no free lunch: on the hardness of choosing a correct big-M in bilevel optimization. Operations research, 68(6), 1716-1721.
3 策略提供问题（Strategic offering problem）
3.1 问题描述与模型
问题描述
- Let’s consider a strategic power producer owning multiple generation units, indexed by i
- All generation units belonging to rivals are indexed by –i
- Demands are elastic to price, and indexed by k
- No transmission network, unit commitment constraints, and uncertainty (for simplicity)
数学模型：
策略制定者是领导者，他的目标是最大化收益；于是有：
注解：
- 供给价格在上层模型是变量，在下层模型是参数
- 下层模型的所有原始和对偶变量是上层模型的变量
3.2 生成下层问题的KKT条件
从而我们得到MPEC公式如下：
显然这是一个非线性问题，因为模型中包含互补条件约束。
3.3 线性化互补条件
引入辅助变量，将问题中的互补条件约束进行线性化，则有：
我们得到的仍是一个非线性混合整数规划，即 项，目前没有现成的求解器去处理它。我们通常想把它转换为混合整数线性规划或者非线性规划。
3.4 模型处理
最终，我们将问题转化为混合整数线性规划问题：
4 Equilibrium Problem with Equilibrium Constraints (EPEC)
虽然双层规划问题难以求解，但是它是一个十分有用的技术；分解技术和分布式优化技术可以被使用来减轻计算负担。