2021威海ccpc H 树上背包

题意：

有$n$个城市，他们成树形关系，对于每个城市$i$，加固这个城市的花费是$w[i]$，如果距离他$\le dis$的所有城市都被加固了，那么这个城市会获得$v[dis]$的经济增长，问能获得的最大净增长是多少？

Solution：

对于这种树上问题，他们在一定的距离内互相影响，首先想到的是树上背包，参考我之前做过的一道类似的树上背包洛谷P4516，但还是想不出来他们互相的制约作用，洛谷这道距离都是1，比较容易实现；

在这题，我们不妨直接整体考虑每个城市获得的最大利润，并且我们要最大化总利润，考虑这个$dp$状态与子树有关，设$dp[u][i]$为$u$获得了距离$\le i$的所有经济增长，整颗子树能获得的最大利润是多少。

$u$获得了距离$\le i$的经济增长，那么他的儿子获得的经济增长应该是$i-1,i,i+1$三个之一，于是

$$dp[u][i]+=max(dp[v][i-1],dp[v][i],dp[v][i+1])$$

由于我们可以选择不在当前城市加固，也需要一个位置转移，所以将状态改为$dp[u][i]$代表$u$获得了距离$\le i-1$的所有经济增长，整颗子树能获得的最大利润，这样子留出了0的位置转移不加固的情况。

总结：

实际上这个问题应该也属于树上背包，洛谷那个背包的是放置与否，这里背包的是当前点的加固距离是多少。并且需要抓住当前点距离与儿子距离的互相制约

#include
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=205,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f;

struct way
{
	int to,next;
}edge[N<<1];
int cnt,head[N];

void add(int u,int v)
{
	edge[++cnt].to=v;
	edge[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}

int n,w[N],v[N];
ll dp[N][N];

void dfs(int u,int fa)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[u][i]=v[i]-w[u];
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			ll max1=-INF;
			for(int k=max(0,j-1);k<=min(n,j+1);k++) max1=max(max1,dp[v][k]);
			dp[u][j]+=max1;
		}
	}
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v; cin>>u>>v;
		add(u,v); add(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<*max_element(dp[1],dp[1]+n+1);
	return 0;
}