【矩阵论】2. 矩阵分解——高低分解

矩阵论
1. 准备知识——复数域上的矩阵与换位公式)
1. 准备知识——复数域上的内积域正交阵
1. 准备知识——相似对角化与合同&正定阵
2. 矩阵分解—— SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——乔利斯分解&平方根公式
2. 矩阵分解——正规谱分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规分解
2. 矩阵分解——单阵及特征值特征向量一些求法
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵运算与函数——张量积

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8.1 高低分解

设 $A=A_{m\times n}$ 秩r(A)>0,则有高低分解 $A_{m\times n}=B_{m\times r}{C}_{r\times n}$ ，其中B为列满秩序(高阵)，C为行满秩(低阵)

性质

$$若A=BC,则有A^H=C^H{B}^H$$

8.1.1 高低分解方法

把 $A=A_{m\times n}$ 做行变换

$$\begin{array}{rl}& A\stackrel{行变换}{⟶}\left(\begin{array}{cc}{I}_r& \ast \\ \cdots & \cdots \\ 0& 0\end{array}\right)，r(A)=r,I_r={\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & \ddots & \\ & & 1\end{array}\right)}_{r\times r}取出A中前r列，记为{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r\\ & 令B=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r),C=(I_r,\ast )，可得A=BC\end{array}$$
eg：
$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)，求高低分解A=BC\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& A\stackrel{行变换}{⟶}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),令B=({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{r}\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\end{array}\right)\\ & 得高低分解A=BC=({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\end{array}\right)\end{array}$$

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$$求A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 4\\ 2& 6& 1& 0& 7\\ 3& 9& 3& 1& 11\end{array}\right)$$

$$\begin{array}{rl}& 解1:\\ & A\stackrel{r_3-r_1-r_2}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 4\\ 2& 6& 1& 0& 7\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_2-2r_1}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 4\\ 0& 0& -3& -2& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_1+4r_2}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& -10& -7& 0\\ 0& 0& 3& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & 故可取A中第1列和第5列作为高阵B，C=\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& -10& -7& 0\\ 0& 0& 3& 2& 1\end{array}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& 解2:\\ & A\stackrel{r_3-r_1-r_2}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 4\\ 2& 6& 1& 0& 7\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{r_2-2r_1}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 4\\ 0& 0& 3& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{\frac{1}{3}{r}_2}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 4\\ 0& 0& 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \stackrel{r_1-2r_2}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& -\frac{1}{3}& \frac{10}{3}\\ 0& 0& 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\\ & 取A中的第1,3列为高阵B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\\ 3& 3\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& -\frac{1}{3}& \frac{10}{3}\\ 0& 0& 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}0$$

8.1.2 秩1分解法

$$若r(A)=1,则A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)\left(b_1\cdots b_n\right)=\alpha \beta ，其中\alpha 为A中的非零列$$

eg

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 3\\ 2& -2& 4& 6\\ 1& -1& 2& 3\end{array}\right)(各列成比例),r(A)=1$$

$$\begin{array}{rl}& 取\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),\beta =\left(1-123\right)\\ & A=BC=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\left(1-123\right)\end{array}$$

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$$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -i& 4& 2\\ -1& 0& i& -4& 2\\ -1& 0& -i& -3& 1+i\end{array}\right)$$

$$\begin{array}{rl}& A\stackrel{r_2+r_1,r_3+r_1}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -i& 4& 2\\ 0& 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& -2i& 1& 3+i\end{array}\right)\stackrel{\frac{r_2}{4},-\frac{r_3}{2i}}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -i& 4& 2\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{2i}& -\frac{3+i}{2i}\end{array}\right)\\ & \stackrel{r_1+i{r}_3,r_1-r_2,r_3-r_2}{⟶}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \frac{7}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{2i}& 0\end{array}\right),故选第1,3,5列作为高阵B\\ & 即B=\left(\begin{array}{ccc}1& -i& 2\\ -1& i& 2\\ -1& -i& 1+i\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \frac{7}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{2i}& 0\end{array}\right),A=BC\end{array}$$

8.2 高阵低阵的逆

8.2.1 高阵的左逆

设 $B=B_{m\times r}$ (列无关) 为高阵，则有左逆公式 $B_L=(B^{H}B{)}^{-1}{B}^H$ ，使 $B_{L}B=I_r$ ,其中 $B_L=B_{r\times m}$

证明：
$$\begin{array}{rl}& 先证B^{H}B可逆，r(B^{H}B)=r(B)=r(列向量极大无关组元素)\\ & B^{H}B为r阶方针，且秩为r，故B^{H}B一定可逆\Rightarrow (B^{H}B{)}^{-1}存在\\ & 再证B_{L}B=(B^{H}B{)}^{-1}{B}^{H}B=I_r\end{array}$$
性质：

• 高阵消去法：

  设B为高阵，且BX=BY，则X=Y

  证明：
  $$\begin{array}{rl}& 令B_L=(B^{H}B{)}^{-1}{B}^H,对于BX=BY，等号两边同时左乘B_L,得B_{L}BX=B_{L}BY\\ & I_{r}X=I_{r}Y\Rightarrow X=Y\end{array}$$

8.2.2 低阵的右逆

设 $C=C_{r\times n}$ 存在右逆阵，$C_R=C^H(C{C}^H{)}^{-1}$ ，使 $C{C}_R=I_r$