机器学习-线性回归-多元梯度下降法

线性回归

我们的回归方程常写成如下形式：
hθ(x)=θ0+θ1*X
代价函数：J(θ)=12∑i=1m(hθ(x(i)−y(i))2
看看代价函数到底是在干什么,如图

梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求代价函数最小
例如：想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转 360 度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。
批量梯度下降算法的公式为：

其中是α学习率，它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向
向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。
下面这两种情况都是α值（学习率）较大，应减小α值，通常可以考虑尝试些学习率： = 0.01，0.03，0.1，0.3，1，3，10

在梯度下降算法中，还有一个更微妙的问题，梯度下降中，我们要更新θ0+θ1 ，应该同步更新，如下图

完整过程如下：

多元线性回归

与单变量线性回归类似，在多变量线性回归中，我们也构建一个代价函数，则这个代价函数是所有建模误差的平方和，我们的目标和单变量线性回归问题中一样，是要找出使得代价函数最小的一系列参数。
例：还是用一开始的房价的例子。假设房价影响因素有房屋大小(size)、卧室数量(number of bedrooms)、楼层数(number of floors)、房龄(age of home)四个。
多变量线性回归的批量梯度下降算法为：
Python 代码：

def computeCost(X, y, theta):
 inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
 return np.sum(inner) / (2 * len(X))

正规方程

我们都在使用梯度下降算法，但是对于某些线性回归问题，正规方程方法
是更好的解决方案。如：


运用正规方程方法求解参数：

总结一下，只要特征变量的数目并不大，标准方程是一个很好的计算参数的替代方法。具体地说，只要特征变量数量小于一万，我通常使用标准方程法，而不使用梯度下降法。随着我们要讲的学习算法越来越复杂，例如，当我们讲到分类算法，像逻辑回归算法，我们会看到，实际上对于那些算法，并不能使用标准方程法。对于那些更复杂的学习算法，
我们将不得不仍然使用梯度下降法。因此，梯度下降法是一个非常有用的算法，可以用在有大量特征变量的线性回归问题。或者我们以后在课程中，会讲到的一些其他的算法，因为标准方程法不适合或者不能用在它们上。但对于这个特定的线性回归模型，标准方程法是一个比梯度下降法更快的替代算法。所以，根据具体的问题，以及你的特征变量的数量，这两种算法都是值得学习的

正规方程的 python 实现：

import numpy as np
def normalEqn(X, y):
 theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y #X.T@X 等价于 X.T.dot(X)
 return theta