线性代数笔记分享（二）向量线性相关性

向量空间

齐次方程组无数解的集合求极大无关组

定义

• 向量空间中的向量对加法和数乘具有封闭性

  • 任意两个向量的加和都可以在向量空间中找到

  • 任意一个向量的任意实数倍都可以在向量空间中找到

性质

• 向量空间非空

  • 零向量一定在

• 单个0向量就可以作为向量空间

• 向量空间中有一个非零向量，就有无限个向量

判断

• 对加法和数乘的封闭性

线性相关

定义

• 存在一组不全为0的常数，使向量组中的各个向量各自数乘后等于0向量

• 反之

  • 能使向量组中的全部向量之和的常数组全部为零，说明该向量组线性无关

判断线性相关性

• 含有0向量的向量组一定线性相关

• 两向量对应分量成比例，两向量线性相关

• 向量的个数大于每个向量的分量个数，该向量组线性相关

• 部分线性相关，整体一定线性相关

  • 整体线性无关，部分一定线性无关

• 线性无关，则常数组必须为零

性质

• 线性相关等价于至少有一个向量是其余向量的线性组合

• 向量组线性无关等价于对应方程组只有零解

• 线性无关的向量组，每个向量添加有限个分量仍然线性无关

  • 相当于添加方程个数

• 向量组线性无关，添加一个向量线性相关，则添加的向量可由原向量组线性表示

• 同步互换分量位置不影响相关性 #线性变换

• 向量扩大倍数不改变相关性 #线性变换

• 向量组转化的矩阵，某一行加另一行的常数倍不改变线性相关性 #线性变换

等价

• 两个向量组可以互相线性表示，两向量组等价

性质

• 自身性

• 对称性

• 传递性

正交

定义

• a，b内积等于零

  • 垂直

正交矩阵

定义

• A的转置✖️A= 单位阵

• A阵的列向量都是单位向量，且两两正交

内积

定义

• (a,b) = aT*b

  • a向量的转置乘b

运算律

• 交换律

• 数乘

• 分配律

秩

基本性质

• 向量组的秩一定小于等于向量个数（列数）和分量个数（行数）

• 转置不影响秩

• 向量组B可由向量组A线性表示，B的秩小于A的秩

• 等价的向量组秩相等

• 乘积的秩小于各因子的秩

• 初等变换不影响秩

  • 若PQ可逆，A乘QP的秩不变

• 含有0向量的向量组秩为0

• 向量组个数大于秩，向量组线性相关

• 向量组个数等于秩，向量组线性无关

求解

• 将向量合并成矩阵

• 进行初等行变换得到行阶梯形

• 非零行数为秩

极大无关组

• 向量组中最多有r个向量线性无关，组成该向量组的极大无关组

  • 其中r称为秩R(A)

• 极大无关组不唯一但互相等价

• 极大无关组的向量个数必相等

求解

• 将向量合并成矩阵

• 进行初等行变换得到行阶梯形

• 主元所在列对应为极大无关组中的向量

维度

定义

• 解空间中向量的个数（秩）

求解公式

• 维度=n（未知数个数） - R(A)（系数矩阵的秩）

基向量

定义

• 解空间（向量空间）中的极大无关组

  • 又称向量组是由基向量生产的空间

证明

• 线性无关

• 其他任意向量可由其表示

求解

• 将方程组化成增广矩阵

• 将增广矩阵经过行变换变成行最简型

  • 主元对应的列为基向量

  • 个数等于维度

  • 原常数部分为线性表示的系数

基向量组成的矩阵为单位阵，称标准正交基

思维导图

下期预告：第三章·行列式