第四课曲面与曲线方程

柱面

与坐标轴平行的柱面有以下特征：

1. 只有两个未知数
2. 准线平行于没有出现的那个坐标轴

旋转曲面

简单的情景就是一条直线绕着某个坐标轴旋转形成的曲面，怎么写方程，那我们先看看旋转这个过程有什么特征，显然我们取一个平面垂直于旋转轴，发现截出来一个圆或一个点，用一下这个到中心距离一样的特征，下面以z轴为旋转轴为例，写下x^2+y^2然后另一边怎么办？这个距离显然是与z有关的（z取不同的值，距离不一样），然后把这个距离用z表示即可。
下面看个例子：

其实就是把y表示成z的式子然后写在右边就行了
但是我们不可能每次都这样推，比较麻烦（其实也还好），有个跟简单的方法，就是旋转前的方程，绕那个轴旋转就把另一个用root（没出现的变量平方加上另一个变量的平方），这里就是把y直接换成root（x*x+y*y）

知道了旋转曲面的原理后，可以用来判断一些方程的形状

比如这个，注意到y z有平方和结构，把它换成y或z就得到了原来的方程，一个双曲线，然后绕着x旋转，得到一个双叶双曲面
还有一个点要说一下，有时方程中可能没有上述的结果，但是有差不多的，比如：

可以假设z，y的系数一样，旋转完后再通过坐标轴伸缩实现（就是压或者是拉这个曲面）

常见二次曲面

截痕法一般是看曲线在xoy，xoz，yoz及其平行面上的截线形状。

椭球面

由旋转那个很容易记

抛物面

z=xy

包含x，y轴大致就是呃，上面那样

双曲面

椭圆锥面

曲线

表示

可以引入新变量，也可以拿x，y，z其中一个作为参数，这完全取决于那么表示比较方便

在坐标面上的投影

简单地说就是投影在那个面上就消去与该面垂直的坐标轴对应的坐标。比如xoy的投影就是z变化时x,y的关系，李姐的话呢，就是从平面束角度出发，对两个方程的线性组合相当于是不断变化的过曲线的曲面，而投影的特征是某个坐标不存在，所以往这个目标化简就行了

立体的话，画一下图，配合交线投影就行了。

补充

如何判断曲面关于xoy平面平行：把z换成-z看看变不变
关于原点对称：x，y,z都变负看看变不变